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有多少个正整数的不同三元组 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 使得 $x_{1}+x_{2}+x_{3}=100 $ 和 $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant x_{3}$。
令
$$
S=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right): x_{i} \geqslant 1, x_{1}+x_{2}+x_{3}= 100\right\}
$$
然后 $S_{3}$ 作用于 $S$ 并且在这个作用的每个轨道上有唯一的 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 使 $x_ {1} \leqslant x_{2} \leqslant x_{3}$。所以这道题相当于求这个作用的轨道数。注意 $x_{1}$ 可以是从 1 到 98 的任何数字，$x_{2}$ 可以是从 1 到 $99-x_{1}$ 的任何数字，然后 $x_{3}$ 由 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 决定。所以
$$
|S|=\sum_{x_{1}=1}^{98}\left(99-x_{1}\right)=99 \times 98-\frac{1}{2} \times 98 \times 99=49 \times 99=4851
$$
我们应用轨道计数公式如下：
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
g & \text{conjugates} & s\text{ fixed by }g & \operatorname{fix}(g) & \text{contribution} \\
\hline
e & 1 & \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) & 4851 & 4851 \\
\hline
(12) & 3 & \left(x_{1}, x_{1}, x_{3}\right) & 49 & 147 \\
\hline
(123) & 2 & \left(x_{1}, x_{1}, x_{1}\right) & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}因此轨道数（我们的答案）等于
$$
\frac{4851+147}{6}=833 \text {. }
$$ |
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