一阶线性方程

hbghlyj · 2023-1-17 07:06

习题2-2,1
求解下列微分方程, 并指出这些方程在$Oxy$平面上有意义的区域:
(5) $\frac{dy}{dx}=(\cos x\cos 2y)^2$
在《常微分方程教程》习题2-2,1解答2013(打开此TeX文件时编码需要选GB2312,否则中文乱码)第三页:

解:
可得当 $\cos2y\neq 0$ 时,
\begin{equation}
\label{eq:16.58}
\frac{1}{(\cos 2y)^2}dy=\cos^2x dx.
\end{equation}
也即
\begin{equation}
\label{eq:17.00pm}
(1+\tan^{2} 2y)dy-\color{#f00}{(1+\tan^2x)}dx=0.
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\label{eq:17.16}
\frac{\partial \phi}{\partial x}=-(1+\tan^2x)\Rightarrow \phi=-\tan x+f(y).
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\label{eq:17.18}
f'(y)=1+\tan^22y\Rightarrow f(y)=\frac{1}{2}\tan 2y+C.
\end{equation}
因此通积分为
\begin{equation}
\label{eq:17.20}
-\tan x+\frac{1}{2}\tan2y+C=0.
\end{equation}
当 $\cos2y=0$ 时,可得 $y=C$.可见微分方程是定义在整个 $\mathbf{R}^2$ 上的.

标红处错了, 把cos看成sec了

$\def\diff{\mathrm d}$
正确解法见 SwitWu chapter02.tex第96行
当 $\cos 2y\neq 0$ 时, 原方程等价于 $\frac{\diff y}{\cos^2 2y}=\sec^2 2y\diff y=\cos^2x\diff x$, 积分得 $2x+\sin2x-2\tan2y=C$
当 $\cos2y=0$时, 有特解 $y=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$

hbghlyj · 2023-1-17 08:03

习题2-2,2
(4) $\frac{dy}{dx}=\frac{\ln |x|}{1+y^2},y(1)=0.$
在《常微分方程教程》习题2-2,2解答2013第三页:

可得
$$
(1+y^2)dy-\ln |x|dx=0.
$$
这是一个恰当微分方程.可得
\begin{align*}
\frac{\partial\phi}{\partial y}&=1+y^2\Rightarrow\\
\phi&=\color{#f00}{\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2}+f(x)\Rightarrow f'(x)=-\ln |x|\Rightarrow f(x)=-x\ln |x|+x+C.
\end{align*}
于是通积分为
$$
\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2-x\ln |x|+x+C=0.
$$
将 $x=1,y=0$ 代入,解得 $C=-1$.

标红处积分错了

正确解法见 SwitWu chapter02.tex第128行
$(1+y^2)\diff y=\ln|x|\diff x$, 积分得 $y+\frac{1}{3}y^3=x(\ln|x|-1)+C$,
代入初值条件得$C=1$, 因此原方程的解为 $y+\frac{1}{3}y^3=x(\ln|x|-1)+1$.