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$\operatorname{Int}(ℤ)$ 为 integer-valued polynomial: 满足“在整数的值为整数”的多项式的集合:$$\operatorname{Int}(ℤ)= \set{ f ∈\Bbb Q[X ] \mid f (ℤ) ⊆ ℤ}.$$
根据Lagrange interpolation，整值多项式系数为有理数。注意，整值多项式系数不一定为整数。
例如, 对于 $n ≥ 2$, binomial polynomial$$\left(\begin{array}{l}X \\ n\end{array}\right)=\frac{X(X-1) \cdots(X-n+1)}{n !}$$属于 $\operatorname{Int}(ℤ)$.
Cahen-Chabert
考虑以下 $\operatorname{Int}(ℤ)$ 的理想：$$\mathfrak{M}_{2,0}=\{f \in \operatorname{Int}(ℤ) \mid f(0) \text {为偶数}\}$$Proposition 3. 理想 $\mathfrak{M}_{2,0}$ 不是有限生成的.
Proof. 设 $g_1, \ldots, g_s$ 生成 $\mathfrak{M}_{2,0}$. 设公分母为$2^kd$, $d$为奇数, 设$$g_1=\frac{f_1 } {2^k d}, \ldots, g_s=\frac{f_s}{2^k d}$$其中 $f_i \in \mathbb{Z}[X]$. 每个 $g_i$ 属于 $\mathfrak{M}_{2,0}$, 即 $g_i(0)$ 为偶数, 故 $f_i(0)$ 为 $2^{k+1}$ 的倍数, 根据多项式映射保持同余, $f_i\left(2^{k+1}\right)$ 也为 $2^{k+1}$ 的倍数, 即$g_i\left(2^{k+1}\right)$ 为偶数.
根据 $g_1, \ldots, g_s$ 生成 $\mathfrak{M}_{2,0}$, 每个 $g \in \mathfrak{M}_{2,0}$ 可表为 $g=\sum_{i=1}^s h_i g_i$, 其中 $h_i \in \operatorname{Int}(\mathbb{Z})$, 则 $g\left(2^{k+1}\right)$ 为偶数.
虽然 binomial polynomial $g=\left(\begin{array}{c}X \\ 2^{k+1}\end{array}\right)$ 属于 $\mathfrak{M}_{2,0}$ [因 $g(0)=0$], 但是 $g\left(2^{k+1}\right)=\left(\begin{array}{l}2^{k+1} \\ 2^{k+1}\end{array}\right)=1$. 矛盾. |
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