Forgot password?
 Create new account
View 117|Reply 1

[几何] 两道六点共圆

[Copy link]

3152

Threads

8505

Posts

610K

Credits

Credits
66261
QQ

Show all posts

hbghlyj Posted at 2023-1-25 04:10:50 |Read mode
Last edited by hbghlyj at 2025-3-21 00:58:56(来自baike.baidu.com/item/%E6%88%B4%E7%BB%B4%E5%A3 … 9A%E7%90%86/18898351)
【例1】自直角三角形斜边上高线中点作三边的平行线,与三边相交得到的六个交点共圆
download.webp
证明 如图2,设M为Rt△ABC的斜边AB上的高线CD的中点,过点M分别与AB,BC,CA平行的线交这三边于J,H,G,F,E,K。
联结EF,GH,由C,E,M,F四点共圆知∠1 =∠2=∠B,∠3=∠4=∠A,
则∠5+∠KEF=∠B+(90°+∠3)=∠B+90°+∠A=180°。
这说明K,E,F,G四点共圆。
又注意到J是AD的中点,G,H分别是BC,DB的中点,那么GH //CD,于是∠7 =∠4=∠A=∠FJ H,从而J,H,G,F四点共圆。
同理,E,K,J,H四点共圆。
故由戴维士定理,知J,H,G,F,E,K六点共圆。
注:也可先证K、E、F、G四点共圆,再证E、F、G、H四点共圆(∠7=∠3)最后证J、K、E、F四点共圆,而证得六点共圆。
【例2】 已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于A₁,A₂两点;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于B₁,B₂两点;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于C₁,C₂两点,证明:A₁,A₂,B₁,B₂,C₁,C₂六点共圆。
download (1).webp
证明 如图3,设B₀,C₀分别为边CA、AB的中点,又设以B₀为圆心过点H的圆与以C₀为圆心且过点H的圆的另一个交点为A',则A'H⊥C₀B₀。
又C₀B₀∥BC,则A'H⊥BC,于是知点A'在AH上。
由切割线定理,得AC₁:AC₂=AA'·AH=AB₁·AB₂,知
B₁,B₂,C₁,C₂四点共圆。
同理,A₁,A₂,C₁,C₂及A₁,A₂,B₁,B₂分别四点共圆。
故由戴维士定理,知A₁,A₂,B₁,B₂,C₁,C₂六点共圆。

沈文选,杨清桃主编.高中数学竞赛解题策略 几何分册:浙江大学出版社,2012.06

Related threads

3152

Threads

8505

Posts

610K

Credits

Credits
66261
QQ

Show all posts

 Author| hbghlyj Posted at 2023-1-25 04:17:19
【例1】自直角三角形斜边上高线中点作三边的平行线,与三边相交得到的六个交点共圆

直角三角形的symmedian point为斜边上高线的中点. 这道题是First Lemoine Circle的直角三角形情况.
mathworld.wolfram.com/SymmedianPoint.html
brilliant.org/wiki/symmedian/
en.wikipedia.org/wiki/Symmedian
en.wikipedia.org/wiki/Symmedian
awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections … about_symmedians.pdf
users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Symmedian.pdf
Episodes in ninteenth and twentieth century Euclidean geometry, Honsberger, Ross

手机版Mobile version|Leisure Math Forum

2025-4-23 06:02 GMT+8

Powered by Discuz!

× Quick Reply To Top Return to the list