两道六点共圆

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(来自baike.baidu.com/item/戴维士定理/18898351)
【例1】自直角三角形斜边上高线中点作三边的平行线，与三边相交得到的六个交点共圆

证明 如图2，设M为Rt△ABC的斜边AB上的高线CD的中点，过点M分别与AB，BC，CA平行的线交这三边于J，H，G，F，E，K。
联结EF，GH，由C，E，M，F四点共圆知∠1 =∠2=∠B，∠3=∠4=∠A，
则∠5+∠KEF=∠B+(90°+∠3)=∠B+90°+∠A=180°。
这说明K，E，F，G四点共圆。
又注意到J是AD的中点，G，H分别是BC，DB的中点，那么GH //CD，于是∠7 =∠4=∠A=∠FJ H，从而J，H，G，F四点共圆。
同理，E，K，J，H四点共圆。
故由戴维士定理，知J，H，G，F，E，K六点共圆。
注：也可先证K、E、F、G四点共圆，再证E、F、G、H四点共圆(∠7=∠3)最后证J、K、E、F四点共圆，而证得六点共圆。
【例2】 已知H是锐角△ABC的垂心，以边BC的中点为圆心，过点H的圆与直线BC相交于A₁，A₂两点；以边CA的中点为圆心，过点H的圆与直线CA相交于B₁，B₂两点；以边AB的中点为圆心，过点H的圆与直线AB相交于C₁，C₂两点，证明：A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂六点共圆。

证明 如图3，设B₀，C₀分别为边CA、AB的中点，又设以B₀为圆心过点H的圆与以C₀为圆心且过点H的圆的另一个交点为A'，则A'H⊥C₀B₀。
又C₀B₀∥BC，则A'H⊥BC，于是知点A'在AH上。
由切割线定理，得AC₁：AC₂=AA'·AH=AB₁·AB₂，知
B₁，B₂，C₁，C₂四点共圆。
同理，A₁，A₂，C₁，C₂及A₁，A₂，B₁，B₂分别四点共圆。
故由戴维士定理，知A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂六点共圆。

沈文选，杨清桃主编．高中数学竞赛解题策略 几何分册：浙江大学出版社，2012.06

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【例1】自直角三角形斜边上高线中点作三边的平行线，与三边相交得到的六个交点共圆

直角三角形的symmedian point为斜边上高线的中点. 这道题是First Lemoine Circle的直角三角形情况.
mathworld.wolfram.com/SymmedianPoint.html
brilliant.org/wiki/symmedian/
en.wikipedia.org/wiki/Symmedian
en.wikipedia.org/wiki/Symmedian
awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections … about_symmedians.pdf
users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Symmedian.pdf
Episodes in ninteenth and twentieth century Euclidean geometry, Honsberger, Ross