怎么用均值或柯西解最小值

math505

$a,b>0,a^2+2b^2=6,$求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值

kuing

和之前这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=9390 差不多

math505

用均值为啥算出的值和mma给出的不一样，取等条件也差的离谱。

math505

mma给出的最小值点：a,b=$\sqrt{2}$,最小值$\frac{3}{\sqrt{2}}$

O-17

mma 没有错啊...用 $3\times2$ 的 Carlson 不等式是最简明的

\[
(a^2+2b^2)\left(\frac1a+\frac2b\right)\left(\frac1a+\frac2b\right)
\geqslant\left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{a\cdot a}}+\sqrt[3]{\frac{8b^2}{b\cdot b}}\right)^3=27
\]

于是

\[
\frac1a+\frac2b\geqslant\sqrt{\frac{27}{6}}=\frac{3}{\sqrt{2}}
\]

均值或者柯西可以参考 kuing 大佬链接里的方法.