存在这样一个函数吗？处处不连续但对x,y分别连续

TaiFanLeAi

如题，是在知乎上看到的一个问题。

Czhang271828

不存在, 证明不需要选择公理之类的假设(这句划掉, 没有选择公理哪来的实分析).
考虑单位圆盘上的磨光函数 $\varphi(x)$, 同一般思路定义 $\delta_0(x)$ 的逼近列\[\varphi_\varepsilon (x)\to \delta _0,\quad \varphi _1=\varphi , \varphi_0=\delta_0.\]记\[f_\varepsilon(x,y):=[\varphi _\varepsilon (\bullet )\ast f(\bullet ,-)](y)=\int_{\mathbb R}\varphi _\varepsilon (x-t)f(t,y)\mathrm dt.\]注意到 $\sup_{x\in \mathbb R} \{f_\varepsilon (x,y)\}$ 是关于 $y\in \mathbb R$ 的具有紧支撑的连续函数(依次分析跳跃间断点, 振荡间断点, 无穷间断点即可). 同理, $\partial_x^k f_\varepsilon (x,y)$ 亦然, 进而 $f_\varepsilon (x,-)$ 对于 $y\in \mathbb R$ 等度连续. 结合 $f_\varepsilon$ 在 $y$ 方向的连续性可知 $f_\varepsilon $ 在 $\mathbb R^2$ 上一致连续. 考虑平移知 $f(x,y)$ 是一列连续函数的逐点极限, 故几乎处处连续.

TaiFanLeAi

Czhang271828 发表于 2023-2-8 14:13
不存在, 证明不需要选择公理之类的假设.
考虑单位圆盘上的磨光函数 $\varphi(x)$, 同一般思路定义 $\delta ...

额，其实看不懂，但你的思路是说，如果一个函数对 x, y 分别连续，那它不可能处处不连续吗？

Czhang271828

TaiFanLeAi 发表于 2023-2-8 15:22
额，其实看不懂，但你的思路是说，如果一个函数对 x, y 分别连续，那它不可能处处不连续吗？ ...

我按照个人理解重复抄一遍你的问题.

给定实变函数(实可测函数) $f:\mathbb R^2\to \mathbb R, (x,y)\mapsto f(x,y)$. 若对任意 $p\in \mathbb R$, 一元函数 $f(p,-):\mathbb R\to \mathbb R,q\mapsto f(p,q)$ 与 $f(-,p):\mathbb R\to \mathbb R,q\mapsto f(q,p)$ 均连续. 试问: $f$ 的不连续点集可能是 $\mathbb R^2$ 吗?

我的回答: $f$ 的不连续点集在 $\mathbb R^2$ 上的外测度为 $0$, 换言之, $f$ 几乎处处连续.

以及, 整体思路是通过构造磨光函数的 $\delta$-逼近列来证明 $f$ 是 Baire 1 纲集的, 也就是连续函数的逐点极限.

TaiFanLeAi

Czhang271828 发表于 2023-2-8 16:03
我按照个人理解重复抄一遍你的问题.

给定实变函数(实可测函数) $f:\mathbb R^2\to \mathbb R, (x,y)\ma ...

哦~~逻辑好像懂了，十分感谢。这个回答对于一个数学分析都没学好的人来说，希望将来有一天能看懂。其实我本来以为只要懂普通微积分就能构造一个反例，结果想半天也弄不明白。

Czhang271828

TaiFanLeAi 发表于 2023-2-8 16:50
哦~~逻辑好像懂了，十分感谢。这个回答对于一个数学分析都没学好的人来说，希望将来有一天能看懂。其实我 ...

没事, 不搞分析的话就远离数学分析. $\varepsilon$-$\delta$ 语言, 有限覆盖定理, Riemann 积分中的各种反例都是反人类的, 推荐学习非标准分析.

TaiFanLeAi

Czhang271828 发表于 2023-2-8 18:12
没事, 不搞分析的话就远离数学分析. $\varepsilon$-$\delta$ 语言, 有限覆盖定理, Riemann 积分中的各种 ...

我搜了一下，貌似非标准分析的推导过程更加简洁，能够大大简化标准分析中的证明过程？那为什么我看到的数学分析，实分析中主要还是在用 episilon delta？

Czhang271828

TaiFanLeAi 发表于 2023-2-8 20:30
我搜了一下，貌似非标准分析的推导过程更加简洁，能够大大简化标准分析中的证明过程？那为什么我看到的数 ...

可以这么说，数理金融用的比较多。不过非标的引入需要较强的逻辑（例如如何在一个足够大的宇宙内把无穷小量看作给定值等等），标准分析虽然反人类，但很简单。

hbghlyj

zhihu.com/question/580420008/answer/2883395060