拉普拉斯逆变换$p^{-2}+p^{-1}-p^{-2}y^{-p}$

hbghlyj

integral transform 2019 Q7, 我已得到最后一问
\begin{equation}\bar{u}(p, y)=p^{-2}+p^{-1}\end{equation}
需证明\begin{equation}u(x, y)=\begin{cases}1+x&\text{ if }\mathrm e^x\lt y\\1+\log y&\text{ if }\mathrm e^x⩾y\end{cases}\end{equation}
Mathematica对(1)式$p^{-2}+p^{-1}-p^{-2}y^{-p}$作拉普拉斯逆变换:

1. In[]:= InverseLaplaceTransform[p^(-2)+p^(-1)-p^(-2)y^(-p),p,x]
2. Out[]= 1+Log[y] if Log[y]>0

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要得出(2)式, 注意到$\mathcal L^{-1}\set{p^{-2}+p^{-1}}(x)=1+x$, 所以只需证明$$\mathcal L^{-1}\set{p^{-2} y^{-p}}(x)=(x-\log y)H(x-\log y)$$
题的前半部分有条件 $x⩾0, y⩾1,u(x, 1) = 1 = u(0, y).$
Table of Laplace Transform Properties

hbghlyj

如何得到$p^{-2}y^{-p}$拉普拉斯逆变换?
根据Proposition 49
$$\mathcal{L}(f(x-a) \mathcal{H}(x-a))=\mathrm{e}^{-a p} \bar{f}(p)$$取$f(x)=x$得$$\mathcal{L}((x-a) \mathcal{H}(x-a))=\mathrm{e}^{-a p} p^{-2}$$
把$a$换成$\log y$得$$\mathcal{L}((x-\log y) \mathcal{H}(x-\log y))=y^{-p} p^{-2}\begin{xy}
\xyimport(3.7, 3.7)(1.4, 1.4){\includegraphics[width=20px,height=20px]{./static/image/smiley/default/smile.gif}}\end{xy}$$