拉普拉斯变换的问题

血狼王

我看了拉氏变换表，发现没有$\ln x$的拉氏变换。
我想不出来，去问网友。
网友说是这个：$$-\frac{\gamma +\ln t}{t}$$
不知为何，请各位解释一下。
（\gamma 是欧拉常数）

战巡

回复 1# 血狼王

早年研究过类似的问题，当时是求$\Gamma'(1)$的值

\[\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(x)dx\]
\[=\frac{1}{t}\int_0^{+\infty}e^{-xt}[\ln(xt)-\ln(t)]d(xt)\]
\[=\frac{1}{t}[\ln(t)+\int_0^{+\infty}e^{-s}\ln(s)ds]\]
其中
\[\int_0^{+\infty}e^{-s}\ln(s)ds=-e^{-s}\ln(s)|^{+\infty}_0+\int_0^{+\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\]
另一方面有
\[\gamma=\lim_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}-\ln(n))=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\sum_{i=1}^nx^{i-1}dx-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
代换$y=n(1-x)$得
\[=\lim_{n\to\infty}(\int^n_0[1-(1-\frac{y}{n})^n]\frac{dy}{y}-\int_1^n\frac{1}{x}dx)\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int^1_0[1-(1-\frac{x}{n})^n]\frac{dx}{x}-\int_1^n(1-\frac{x}{n})^n\frac{dx}{x})\]
\[=\lim_{n\to\infty}(\int_0^1\frac{dx}{x}-\int_0^n(1-\frac{x}{n})^n\frac{dx}{x})\]
\[=\int_0^1\frac{dx}{x}-\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x}}{x}dx\]
而后有
\[\int_0^{+\infty}e^{-x}\ln(x)dx=-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0+\int_0^1\frac{dx}{x}-\gamma\]
\[=-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0+\ln(x)|^1_0-\gamma\]
\[=\ln(x)(1-e^{-x})|^1_0-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_1-\gamma=-\gamma\]

青青子衿

回复 1# 血狼王

我看了拉氏变换表，发现没有$\ln x$的拉氏变换。
我想不出来，去问网友。
血狼王 发表于 2015-12-30 13:45

你可以看看这本，这本上面的拉普拉斯变换表很全
Table of integrals, series, and products-Academic Press.pdf

血狼王

回复 3# 青青子衿


多谢

hbghlyj

战巡 发表于 2016-1-4 10:32
而后有
\[\int_0^{+\infty}e^{-x}\ln(x)dx=-\color{red}{e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0}+\color{red}{\int_0^1\frac{dx}{x}}-\gamma\]
$$=-\color{red}{e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_0}+\color{red}{\ln(x)|^1_0}-\gamma$$
\[=\ln(x)(1-e^{-x})|^1_0-e^{-x}\ln(x)|^{+\infty}_1-\gamma=-\gamma\]

红色的部分好像是$∞-∞$

hbghlyj

见1.2.2 Properties of the Digamma Function
$\psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$
$\psi(1)=-\gamma$

hbghlyj

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