交换环幂零子群的一个性质

Czhang271828

定义交换环为满足以下条件的三元对 $(A,+,\cdot)$:

• $(A,+)$ 为加法交换群, 约定 $na=\sum_{i=1}^na$ ($n\in \mathbb N_+$);
• $(A,\cdot)$ 为乘法交换半群(不必含有单位元);
• $(A,+,\cdot)$ 满足分配律.

若存在 $(A,+)$ 的子群 $(A',+)$ 以及 $n\in \mathbb N_+$, 使得 $\forall a\in A'\subseteq A$, $a^n=0$, 且 $a\mapsto n!\cdot a$ 将 $A$ 中的非零元映射至非零元. 试证明: $A'$ 中任意 $n$ 个元素的乘积为 $0$.

此题自然可以用繁琐的多元 Newton 恒等式求解(即便使用了数学归纳). 一种简易的解法见一楼.  

Czhang271828

解答

首先断言 $\binom{n}{r}a^rb^{n-r}=0$ 对任意 $r\in \{0,\ldots, n\}$ 与 $a,b\in M$ 成立. 根据 $\{(a+kb)^n=0\}_{k=0}^n$ 列出
$$
\begin{pmatrix}
                a^n\\
        (a+b)^n\\
        (a+2b)^n\\
        \vdots\\
        (a+nb)^n
        \end{pmatrix}
        =
        \begin{pmatrix}
        0^0&0^1&\cdots&0^n\\
        1^0&1^1&\cdots&1^n\\
        2^0&2^1&\cdots&2^n\\
        \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
        n^0&n^1&\cdots&n^n\\
        \end{pmatrix}
        \cdot
        \begin{pmatrix}
        a^n\binom{n}{0}\\
        a^nb^1\binom{n}{1}\\
        a^nb^1\binom{n}{2}\\
        \vdots\\
        b^n\binom{n}{n}
        \end{pmatrix}=O^{n\times 1}.
$$
此处约定 $0^0=1$. 将该矩阵化作下三角形式, 其行列式值为 $0$.

再对 $\{\binom{n}{r}a^r(b+kc)^{n-r}\}_{1\leq k\leq n-r}$ 作同样归纳, 即,  
$$
\binom{n}{r}\binom{n-r}{s}a^rb^sc^{n-r-s}=0\quad (\forall a,b,c\in M, 0\leq r,s\leq r+s\leq n).
$$

此处 $\displaystyle\binom{n}{r}\binom{n-r}{s}=\dfrac{n!}{r!s!(n-r-s)!}$. 递降之, 得
$$
\dfrac{n!}{1!\cdots 1!}\cdot a_1\cdots a_n=0.
$$
由于 $n!$ 将非零元映至非零元, 得证.