一道函数不等式

facebooker

$x\geqslant 0, pro: e^x\geqslant 1+\frac{3}{2}x^2$

isee

知乎提问里见过.

如果要让高中生能明白的，就等价于证\[e^{1+\frac1{\sqrt 3}}>3+\sqrt 3,\]这只需要用\[\mathrm e^x>1+x+\frac {x^2}2+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24},\]
而上式的证明求导两次即明.

kuing

isee 发表于 2023-2-27 21:27
知乎提问里见过.

如果要让高中生能明白的，就等价于证\[e^{1+\frac1{\sqrt 3}}>3+\sqrt 3,\]这只需要用\[\mathrm e^x>1+x+\frac {x^2}2+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24},\]
而 ...

利用
\[e^x+e^{-x}\geqslant2+x^2+\frac1{12}x^4\quad(*)\]
的话计算量会小一点点😉

要证 `\exp\left(1+\frac1{\sqrt3}\right)>3+\sqrt3`，只需证
\[\exp\left(1+\frac1{\sqrt3}\right)+\frac1{\exp\left(1+\frac1{\sqrt3}\right)}>3+\sqrt3+\frac1{3+\sqrt3}=\frac{21+5\sqrt3}6,\]
利用式 (*)，先计算 `\left(1+\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac43+\frac2{\sqrt3}`，所以有
\[\LHS\geqslant2+\frac43+\frac2{\sqrt3}+\frac1{12}\left(\frac43+\frac2{\sqrt3}\right)^2=\frac{97+22\sqrt3}{27},\]
最后计算 `\frac{97+22\sqrt3}{27}-\frac{21+5\sqrt3}6=\frac{5-\sqrt3}{54}>0` 即得证。

kuing

kuing 发表于 2023-2-28 02:14
利用
\[e^x+e^{-x}\geqslant2+x^2+\frac1{12}x^4\quad(*)\]
的话计算量会小一点点😉

或者直接用式 (*) 来证原不等式，不用算那极值点的数值，还更简单一点，因为可以换元降次。

要证 `e^x\geqslant1+\frac32x^2`，由于两边均 `\geqslant1`，故只需证
\[e^x+e^{-x}\geqslant1+\frac32x^2+\frac1{1+\frac32x^2},\]
利用式 (*)，只需证
\[2+x^2+\frac1{12}x^4\geqslant1+\frac32x^2+\frac1{1+\frac32x^2},\]
令 `t=x^2`，上式即
\[1-\frac12t+\frac1{12}t^2\geqslant\frac1{1+\frac32t},\]
去分母化简为 `t(3t^2-16t+24)\geqslant0`，括号内的 `\Delta=16^2-4\times3\times24=-32<0` 即得证。

kuing

看了下知乎那边，还没人提到式 (*)，我把楼上的贴过去了😉zhihu.com/question/537615419/answer/2914772356

isee

kuing 发表于 2023-2-28 13:59
或者直接用式 (*) 来证原不等式，不用算那极值点的数值，还更简单一点，因为可以换元降次。

要证 `e^x\g ...

好放缩，来个 -x 收敛更快了

kuing

isee 发表于 2023-2-28 15:00
好放缩，来个 -x 收敛更快了

是的，以前我也用过这招：forum.php?mod=viewthread&tid=6655

facebooker

多谢两位大佬！学到了！