如何证明 $\ln 2 < \frac{25}{36}$?

abigtreenj

前一阵做题时, 有一个解法导致了这样一个结果, 我没有搞定. 后来利用excel计算, 发现用 $\text{e}^x > 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} > 2$ (其中 $x = \frac {25}{36}$) 来解决可以的, 靠手工计算基本上不行.

请教有别的方法估算吗? 如果不行, 这个方法我就放弃了.

kuing

只用 `e^x` 收敛不够快，拉上一个 `e^{-x}` 会快很多，即
\[e^x-e^{-x}>2x+\frac{x^3}3,\quad\forall x>0,\]取 `x=25/36` 算出右边 `>2-1/2`，得到 `e^{25/36}>2`，这样计算量相对小一点。

abigtreenj

只用 $e^x$ 收敛不够快，拉上一个 $e^{-x}$ 会快很多，即
$e^x-e^{-x}>2x+\frac{x^3}3,\quad\forall x>0,\ ...$

漂亮

kuing

玩个积分：因为 `1/x` 是下凸函数，根据定积分的几何意义，曲边梯形面积小于梯形面积，得
\begin{align*}
\ln2&=\int_1^2\frac1x\rmd x\\
&<\frac1{2n}\left( \frac11+\frac1{1+\frac1n} \right)+\frac1{2n}\left( \frac1{1+\frac1n}+\frac1{1+\frac2n} \right)+\cdots+\frac1{2n}\left( \frac1{1+\frac{n-1}n}+\frac12 \right)\\
&=\frac3{4n}+\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n-1},
\end{align*}此式对任意大于 `1` 的整数 `n` 成立，取 `n=7` 即得
\[\ln2<\frac3{28}+\frac18+\frac19+\cdots+\frac1{13}=\frac{250241}{360360}<\frac{25}{36}.\]

Infinity

等价为证明$\log_2e>36/25$，即$e^{25}>2^{36}$，同时开5次方，即要证明$(e/2)^5>4\sqrt[5]{2}$.
因为$e>2.718,\;1.149^5>2$，故$(e/2)^5>(2.718/2)^5>4\times1.149>4\sqrt[5]{2}$.
都是2以内的小数的乘法计算，手算计算量并不大。