一道三角函数值比较大小问题

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证明：$\dfrac{2\cos1}{2\sin1-1}>\tan1$

力工

好像可以直接导数？设$tanx=t\in(1,\sqrt{3})$,则
函数$f(t)=t-\frac{1}{t}-\sqrt{1+t^2}$,求导，得
$f'(t)=\frac{(\sqrt{(t^2+1)^3}-t^3}{t^2\sqrt{1+t^2}}$，
在区间内为正。$1<tan1<\sqrt{3}$.

ZCos666

直接比就完了，即证$\dfrac{2\cos1}{2\sin1-1}-\dfrac{\sin1}{\cos1}>0$

由$\sin1>\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2},\cos1>0$知

即证$2\cos^{2}1-2\sin^{2}1+\sin1>0$

即证$-4\sin^{2}1+\sin1+2>0$，即证$\sin1<\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$

熟知$x>0:\sin{x}<x-\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{x^{5}}{120}$

于是有$\sin1<1-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{120}=\dfrac{101}{120}$

往证$\dfrac{101}{120}<\dfrac{1+\sqrt{33}}{8}$

显然成立，得证