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zhcosin
Posted at 2022-6-15 11:09:46
Last edited by hbghlyj at 2025-4-5 23:28:51题目 9.3．对任意正整数 $n$，定义两个多项式如下
\[
E_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}, L_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}
\]
- 设 $x \neq 0$ ，证明：对任意正整数 $n$ ，都有 $\mathrm{e}^x>E_n(x)$ ．
- 设 $x>0$ ，证明：当正整数 $n$ 是奇数时，有 $\ln (1+x)<L_n(x)$ ，而当 $n$ 是偶数时，有 $\ln (1+x)>L_n(x)$ ．
- 记
\[
S_n(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}, C_n(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}
\]
则当 $x>0$ 时，若 $n$ 为偶数，则 $\sin x>S_n(x)$ 并且 $\cos x<C_n(x)$ ，反之若 $n$ 为奇数，则 $\sin x<S_n(x)$并且 $\cos x>C_n(x)$ ．
解答．- 令 $f_n(x)=\mathrm{e}^x-E_n(x)$ ，显然 $f_n(0)=0$ ，并且容易验证 $E_{n+1}^{\prime}(x)=E_n(x)$ ，使用归纳法，当 $n=1$时，$f_1^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-E_1^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-1$ ，显然当 $x>0$ 时 $f_1^{\prime}(x)>0$ ，即 $f_1(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格增加，而在 $x<0$ 时 $f_1^{\prime}(x)<0, f_1(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上严格减少，故无论 $x$ 符号如何恒有 $f_1(x)>f(0)=0$ ，所以 $n=1$ 时结论成立．
假定结论对于正整数 $n$ 也成立，那么 $f_{n+1}^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-E_{n+1}^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-E_n(x)$ ，由假设可知 $f_{n+1}^{\prime}(x)>0$ ，于是结论对于 $n+1$ 也成立． - 同样作函数 $f(x)=\ln (1+x)-L_n(x)$ ，可以验证 $f(0)=0$ 以及
\[
L_n^{\prime}(x)=1-x+x^2-\cdots+(-x)^{n-1}=\frac{1-(-x)^n}{1+x}
\]因此
\[
f_n^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1-(-x)^n}{1+x}=\frac{(-x)^n}{1+x}
\]
由此可见，若 $n$ 为偶数，则函数 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格增加，反之若 $n$ 为奇数，则是严格减少的，再结合 $f_n(0)=0$ 即得结论． - 仍然作函数 $f_n(x)=\sin x-S_n(x)$ 与 $g_n(x)=\cos x-C_n(x)$ ，可以验证 $f_n(0)=g_n(0)=0$ 以及
\[
f^{\prime}(x)=g_n(x), g_n^{\prime}(x)=-f_{n-1}(x)
\]
对于 $n=0,1$ 的情况，不等式的验证此处略去，假如对于正整数 $n$ 结论成立，那么对于 $n+1$ 的情况，由 $g_{n+1}^{\prime}(x)=-f_n(x)$ 即知余弦的部分成立，再由 $f_{n+1}^{\prime}(x)=g_n(x)$ 知正弦的部分成立．于是结论成立．
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