2021年高考：比较大小，感觉较难，有什么好方法？

lemondian

（2021 全国乙卷理数，12）设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$则（ ）
A．$a<b<c$
B．$b<c<a$
C．$b<a<c$
D．$c<a<b$

hejoseph

就是比较 $x\in(0,1)$ 时 $2\ln(1+x)$、$\ln(1+2x)$、$\sqrt{1+4x}-1$ 的大小关系。

isee

回复 2# hejoseph


一眼即穿，我是硬算的，全手工，也不难算，花不了几分钟。


硬“干"+猜后证。

`a=2\ln 1.01=\ln 1.0201>b`，由于这两数相当的接近，猜测`c`多半是一个中间插值。

然后考虑用放缩……对`a,c`用`\ln x>1-1/x`精度不够，于是\[\ln 1.0201>\frac {2(1.0201-1)}{1+1.0201}=\frac {402}{20201}>0.0199>\sqrt{1.04}-1\]

最后一步`0.0199>\sqrt{1.04}-1`移项平方做的。

即$a$最大，只能选B了

kuing

昨天我H群里刚聊过：

v6 15:41:11
这个12题可有好的方法
kuing 15:46:31
变成 a=2ln(1+x), b=ln(1+2x), c=sqrt(1+4x)-1，其中 x 是个小正数，求导易证 a>c>b
v6 15:47:47
有没有更屌一点的方法
kuing 15:48:17
那你泰勒呗
kuing 15:49:35
a=2x-x^2+...
b=2x-2x^2+8x^3/3+...
c=2x-2x^2+4x^3+...
于是一看就是 a>c>b
v6 15:50:13
牛逼
生如夏花 17:32:27
降维打击
直接打碎了
kuing 17:32:47

isee

回复 4# kuing

想不起泰勒，细思却是意料之中