比较b,c有没有其它方法

hjfmhh

设 $a=2^{\sqrt{\pi}}, b=\log _2 \pi, c=\sqrt{\pi}$，则 $b<c$．（C）
A．$c>b>a$
B．$b>c>a$
C．$a>c>b$
D．$a>b>c$

［解析］（1）由 $a=2^{\sqrt{\pi}}>2,1<b=\log _2 \pi<\log _2 4=2$ ， $1<c=\sqrt{\pi}<\sqrt{4}=2$ ，知 $a>b, a>c$ ．又 $\pi^3<2^5$ ，所以 $\pi<2^{\frac{5}{3}}$ ，故 $b=\log _2 \pi<\log _2 2^{\frac{5}{3}}=\frac{5}{3}$ 又 $\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}<\pi$ ，故 $\frac{5}{3}<\sqrt{\pi}=c$ ，所以 $b<c$ ，因此可得 $a>c>b$ 。故选 C．

这题b,c比较大小时，用了不等式$\pi^3<2^5$，想不到，有没有其它方法？

lxz2336831534

\[
\frac{1}{2}b = \log_2 c
\]
当 $c \in (2,4)$ 且 $b \in (2,4)$ 时，
\[
b = 2\log_2 c > c.
\]
反之，
\[
b = 2\log_2 c < c.
\]
题中，由于 $c$ 与 $b$ 均不属于 $(2,4)$，故有$b < c$.

hjfmhh

lxz2336831534 发表于 2025-4-11 23:18
\[
\frac{1}{2}b = \log_2 c
\]

请问：当c在（2,4）且b在（2,4）时b=2log2(c)>c，这是为什么，是充要的吗？

hjfmhh

lxz2336831534 发表于 2025-4-11 23:18
\[
\frac{1}{2}b = \log_2 c
\]

应该是这样理解的吧
\begin{aligned}
& f(c)=2 \log _2c-c, c \in(2, 4) \\
& f(2)=0, f(4)=0 . \\
& f'(c)=2 \cdot \frac{1}{c\ln 2}-1, 当2<c<\frac{2}{\ln 2} \text { 时, } f(c) \uparrow, 当 \frac{2}{\ln 2}<c<4 时 f(c) \downarrow \\
& \text{故 } f(c)>f(2)=f(4)=0 . \\
& \therefore\text{当 } c \in(2,4) \text { 时 } 2 \log _2c>c \text { 即 } b>c . \\
& \text{当 } c \notin(2,4) \text { 时 } 2 \log _2c<c \text { 即 } b<c .
\end{aligned}

Aluminiumor

$\log_2\pi<\sqrt{\pi}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln\pi}{\ln2}<\sqrt{\pi}\Longleftrightarrow\dfrac{\ln\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}}<\dfrac{\ln2}{2}$
由 $\sqrt{\pi}<2$ 及 $\dfrac{\ln x}{x}$ 的单调性，得证.