比较大小

lemondian

已知$a>b>1,x=\log_{a+b}(a^y+b^y),z=\log_a((a+b)^y-b^y)$，试比较$|x-y|,|y-z|,|z-x|$的大小。

kuing

先写个开头吧，后面还没想好。

引理：设 `a,b>0`，则当 `t<1` 时有 `(a+b)^t<a^t+b^t`，当 `t>1` 时有 `(a+b)^t>a^t+b^t`。（证明略）

回原题，如果 `y=1` 那 `x=y=z=1` 没啥好说的，下设 `y\ne1`，另外 `y` 必须为正否则 `z` 的真数为负。

显然 `x` 关于 `y` 递增，而 `y=1` 时 `x=1`，所以当 `y<1` 时 `x<1`，当 `y>1` 时 `x>1`。

由引理，当 `y<1` 时有 `x>\log_{a+b}(a+b)^y=y` 且 `z<\log_a(a^y+b^y-b^y)=y`，所以 `1>x>y>z`；
当 `y>1` 时反过来即 `1<x<y<z`。

对于 `1>x>y>z` 的情况大概可以用拉格朗证明 `x-y<y-z`，但另一种情况暂时未解决。
待续……水饺😪

lemondian

kuing 发表于 2023-3-24 03:49
先写个开头吧，后面还没想好。

引理：设 `a,b>0`，则当 `t<1` 时有 `(a+b)^t<a^t+b^t`，当 ...

kuing :求待续。。。