比较大小 $a=\frac {12}{13}$ , $b=\ln \frac74$ , $c=\sin \frac 43$

isee

源自知乎提问

题：比较大小 $a=\dfrac {12}{13}$ , $b=\ln \dfrac74$ , $c=\sin \dfrac 43$ .

这三个数之间的联系一时判断不了，即多半是“孤立”的，由此尝试通过放缩比较.

注意 $\dfrac 43<\dfrac {\pi}2$ 即 4/3 是比较接近 $\pi/2$ 的锐角，进而发现 \[c=\sin\frac43>\sin\frac{5\pi}{12}(=\sin 75^\circ)=\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}4.\] 而 \[a=\frac{12}{13}=0.92\cdots>\frac 34>\ln\big(1+\frac 34\big)=b.\] 于是需判断 a，c 谁更接近于 1，如果不愿意用 $\sqrt 6=\sqrt 2\times\sqrt 3$ 去估算，则

不妨先考虑 \begin{gather*}
\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}4>\frac{12}{13},\\[1ex]
\iff 13\sqrt 6>48-13\sqrt 2,\\[1ex]
\iff 1014>2034-1248\sqrt 2+338,\\[1ex]
\iff \sqrt 2>\frac{1358}{1248}=\frac{679}{624}=1.0\cdots,
\end{gather*} 而熟知 $\sqrt 2>1.4$ 即上式成立，于是 \[c>a>b.\]

写完之后，发现确实有 c>a，那么还可以借用常用的三角函数放缩 \[\sin x>x-\frac {x^3}6,x>0.\] 则 \[c=\sin \frac 43>\frac 43-\frac{64/27}6=\frac{76}{81}>\frac{12}{13}=a.\]

O-17

$b$ 和 $a,c$ 差的蛮多的，这里只证明 $a<c$

如图（因为 $f(x)=\sin x$ 在区间 $\left(0,\pi\right)$ 上是凸函数，且 $4/3>(5\pi)/12$ ），可得

\[
\sin\frac43>\frac{2+\sqrt{3}}4
\]

那么只需证 $(2+\sqrt{3})/4>12/13$ ，注意到

\[
3>\left(\frac{12\times4}{13}-2\right)^2\Rightarrow\frac{2+\sqrt{3}}4>\frac{12}{13}
\]

得证！ $\square$

isee

O-17 发表于 2023-1-28 20:23
$b$ 和 $a,c$ 差的蛮多的，这里只证明 $a(5\pi)/12$ ），可得

\[

一眼望过去，还以为是我把sin75度记错了，哈哈哈哈哈

O-17

isee 发表于 2023-1-28 22:23
一眼望过去，还以为是我把sin75度记错了，哈哈哈哈哈

一方面有些考生可能不记得 $\sin75^\circ$ (比如我_(:з」∠)_) , 另一方面 $\sin75^\circ$ 有两个根号, 比大小不太方便...