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第一个问题: 哈士奇模型的本质是"两种计数腿数量的方法结果相同", 推广就是连续化的情形. 如果某点处的狗在某个很小的空间角上伸出的腿连续均匀, 那确实蕴含三维空间中的平方反比定理(球表面积平方正比).
实际计算中不用刻意考虑这些, 只要套公式那就是对的. 如果某个连续可微的向量场在某个开集上处处不遵守平方反比定律, 那只能说明那个开集上有稠密的哈士奇在捣乱, 从而不能看作点电荷模型之类的.
第二个问题: 我们知道散度的定义是
\[
\mathrm{div}(\vec F(x)):=\lim_{U_x\to \{x\}}\,\,|V(U_x)|^{-1}\cdot \bigcirc\!\!\!\!\!\!\!\! \int\!\!\!\!\!\int_{\partial U_x}\vec F(S)\cdot \vec n_S\,\mathrm dS.
\]
此处 $U_x$ 是 $x$ 的开邻域(等价地, 看作开球无妨), $|V(U_x)|$ 是 $U_x$ 的体积, $\vec F$ 是向量场, $\partial U_x$ 是开邻域表面, $\vec n_S$ 是 $\partial U_x$ 表面 $S$ 处的法向量. 有时把 $\vec n_S\,\mathrm dS$ 写作向量 $\mathbf{dS}$.
关于 $\mathrm{div}(e_r\cdot r^{-2})=0$ 的实际意义, 我们考虑物理意义: 假定 $\vec r\neq 0$, 介质均匀, 则点电荷在 $\vec r$ 处诱导的电场的散度就是 $\mathrm{div}(e_r\cdot r^{-2})=0$ 的常数倍. 结合物理意义考虑散度的定义式, 把 $U_x$ 想象成均匀带电体, $\mathrm{div}(e_r\cdot r^{-2})=0$ (在相差常数的意义下)即"电场在均匀带电体 $U_x$ 表面创造的撕裂/挤压力再除以 $|V(U_x)|$". 在 $U_x\to \{x\}$ 时自然趋向 $0$. 这是因为点电荷电场在原点外连续可微, 其局部为匀强电场.
补充一个数学计算, 考虑向量场 $\vec F(x,y,z)=(F_{(x)},F_{(y)},F_{(z)})=e_r\cdot r^{-2}$, 那么
\begin{align*}
\mathrm{div}\vec F(r)&=\nabla\cdot \vec F(r)\\
&=\dfrac{\partial }{\partial x}F_{(x)}+\dfrac{\partial }{\partial y}F_{(y)}+\dfrac{\partial }{\partial z}F_{(z)}\\
&=\dfrac{\partial }{\partial x}\dfrac{x}{r^3}+\dfrac{\partial }{\partial y}\dfrac{y}{r^3}+\dfrac{\partial }{\partial z}\dfrac{z}{r^3}\\
&=\dfrac{1}{r^3}-\dfrac{3x^2}{r^5}+\dfrac{1}{r^3}-\dfrac{3y^2}{r^5}+\dfrac{1}{r^3}-\dfrac{3z^2}{r^5}\\
&=0.
\end{align*}
此处 $\dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{x}{r}$.
反过来, 如果 $3$ 维空间的径向对称函数决定向量场, 根据量纲分析原则, 其形式一定是 $\vec r\cdot f(r)=(xf(r),yf(r),zf(r))$. 作为能量守恒定律的推论, 如果向量场连续可微, 则一定局部匀强, 即 $\mathrm{div}(\vec r\cdot f(r))=0$. 列散度方程
\[
0=\nabla\cdot (\vec r\cdot f(r))=\sum_{\text{轮换}}\dfrac{\partial xf(r)}{\partial x}=\sum_{\text{轮换}}\left[f(r)+\dfrac{x^2 f'(r)}r\right].
\]
即微分方程 $3f(r)+rf'(r)=0$. 此处看出是 $(r^3f(r))'=0$, 即 $f(r)$ 是 $r^{-3}$ 的常数倍.
结论: 能量守恒定律(推论是局部匀强电场)确实表明平方反比定律. 根据上述式子推算, $n+1$ 维空间中是 $n$-次方反比, $1$-维空间就是对数正比. |
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Czhang271828
发表于 2023-3-8 15:02
