抛物线上三点构成的三角形内切于圆,

realnumber

能否在抛物线$y^2=4x$上找到三点A,B,C,使得其内切圆为$(x-2)^2+y^2=1$.





有没别的比如不等式等的办法?
假设存在三点$A(4r^2,4r),B(4s^2,4s),C(4t^2,4t)$
那么直线BC为$(s+t)y=x+4st$,
又它是圆的切线,可得$\frac{\abs{2+4st}}{\sqrt{1+(s+t)^2}}=1$,
也即$(2+4st)^2-(s+t)^2=1$,类似s,t替换成s,r或r,t也成立.
但怎么得出矛盾?   直接转化为2次方程,求出根计算有些琐碎,有没别的办法?
$(2+4st)^2-(s+t)^2=1--------1$
$(2+4sr)^2-(s+r)^2=1--------2$
$(2+4rt)^2-(r+t)^2=1--------3$
由2,3两式,说明关于x的二次$(2+4rx)^2-(r+x)^2=1$两实根是$s,t$,即$(16r^2-1)x^2+14rx+3-r^2=0$
由韦达定理可得$s+t=\frac{-14r}{16r^2-1},st=\frac{3-r^2}{16r^2-1}$代入1式,
并令$r^2=z$得$332z^2+592z+99=0$而由韦达定理它没有正根,矛盾.

kuing

假设这三点存在，根据彭赛列闭合定理，在抛物线上任何一点 `A'` 作圆的两切线与抛物线交于 `B'`, `C'` 都必定满足 `B'C'` 也与该圆相切。
因此可以通过取 `A'` 为原点作圆的切线发现第三边并不与圆相切即可推出那样的三点不存在。

1+1=？

如果抛物线p值换为0.5就成立了

hejoseph

三角形内接于抛物线 $y^2 = 2px$ 且外切于圆 $(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$ 的充要条件是
\[
r = \sqrt{2p(p + u) + v^2 - 2\sqrt{p(p + 2u)(p^2 + v^2)}}
\]
旁切的里面的根号前面的减号改成加号。

lemondian

hejoseph 发表于 2023-3-20 13:38
三角形内接于抛物线 $y^2 = 2px$ 且外切于圆 $(x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2$ 的充要条件是
\[
r = \sqrt{2p ...

请问：这个有过程吗？

kuing

lemondian 发表于 2023-3-20 15:56
请问：这个有过程吗？

见《数学空间》第 17 期的封面故事。

（上次也是这样说……

lemondian

kuing 发表于 2023-3-20 16:06
见《数学空间》第 17 期的封面故事。

（上次也是这样说……

我翻翻看😅