R和C之间没有集合对加减乘除封闭

hbghlyj

不存在$F$对加减乘除封闭且满足$\mathbb{R} \subsetneq F \subsetneq \mathbb{C}$.

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$F$ 包含一个元素 $a+bi$，其中 $b\neq 0$。
由于$F$包含$\mathbb R$，它包含$b^{-1}$和$-a$，所以它包含$b^{-1}\left((a+bi)-a\right)=i $。因此它包含所有复数，即 $F=\mathbb{C}$。

hbghlyj

Is there a field extension over the real numbers that is not the same as the field of complex numbers?
扩张 $[ℂ:ℝ]$ 的度数为 2，因此不存在中间的真扩张。
假设这样的扩域 $F$ 存在。根据塔定理，我们有 $[ℂ:F][F:ℝ]=2$。要使其成为真扩张，每个因数都必须大于 1。矛盾。