𝐄³中, 与三条直线同时相交的直线

hbghlyj

资料: PKU课程页面-2021-几何学I 作业六

题 1 考虑空间中直线 $l_{0}:\left\{\begin{aligned} 3 x & =2 y \\ z & =0\end{aligned}\right.$ 使其绕直线 $k:x=y=z$ 旋转一周，获得圆锥面𝑆。
（1） 写出曲面𝑆的方程并画图。
（2） 描述所有保持𝑆不变（作为点集）的空间保距变换，并说明理由。
题 2 曲面𝑆: 𝑥² + 𝑦² + 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 − 𝑦𝑧 = 0是否是正圆锥？说明理由。
题 3 空间中单位立方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，（其中𝐴𝐵𝐶𝐷是一个侧面正方形，而𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′是其对侧正方形，对应顶点相邻）。
（1） 考虑所有与边𝐴𝐴′, 𝐵′𝐶′, 𝐶𝐷所在的三条直线同时相交的直线。它们的并集构成哪种（仿射）二次曲面？请说明理由。
（2） 决定并描述包含直线𝐴𝐴′的那一族直母线。
题 4 给定空间中的单位立方体𝑃（作为包含全体顶点、边、面、内部点的点集），所有保持𝑃不变的空间保距变换总共有多少个？用比较简明的语言枚举它们全部。
题 5 平面旋转变换𝜙₁, 𝜙₂分别以𝑂₁, 𝑂₂为中心，问𝜙₁ ∘ 𝜙₂ = 𝜙₂ ∘ 𝜙₁何时成立？说明理由。
题 6 假设𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ 𝐄³是处于一般位置（即不共面）的四个点，用𝐿_𝐴: 𝐄³ → ℝ表示一个线性函数，满足𝐿_𝐴(𝐴) = 1，𝐿_𝐴(𝐵) = 𝐿_𝐴(𝐶) = 𝐿_𝐴(𝐷) = 0；𝐿_𝐴, 𝐿_𝐴 , 𝐿_𝐴: 𝐄³ → ℝ也作类似理解。
试找出所有保持四点𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷（作为集合）不变的空间仿射变换，使得由方程𝐿_𝐴 + 2𝐿_𝐵 + 𝐿_𝐶 + 2𝐿_𝐷 = 0定义的平面也保持不变。说明理由。

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题 1
直线 $l_0$ 上的点$(2t,3t,0)$关于$k$旋转到$(x,y,z)$, 则$\cases{(x,y,z)\cdot(1,1,1)=(2t,3t,0)\cdot(1,1,1)\\\abs{(x,y,z)\times(1,1,1)}=\abs{(2t,3t,0)\times(1,1,1)}}$
即$\cases{5 t=x+y+z\\14 t=(x-y)^2+(z-x)^2+(y-z)^2}$
消去$t$得圆锥𝑆的方程$14 (x+y+z)=5 \left(2 x^2-2 x y-2 x z+2 y^2-2 y z+2 z^2\right)$
保持𝑆不变的空间保距变换是关于$k$的旋转和关于平面$x+y+z=0$的反射生成的子群.

题 2
椭圆锥的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{h^{2}}=0$ (它是正圆锥当且仅当 $a = b$.)
本题$\begin{pmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -1 \\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac12 \\
-1 & -\frac12 & 0 \\
\end{pmatrix}$的特征根为 2.06632, 0.570218, -0.636536.
因为2.06632 ≠ 0.570218所以不是正圆锥.

题 4
见Wikipedia
见UTM Groups and Symmetry p.37

题 5
设$O_1,O_2$对应的复数为$z_1,z_2$, $\phi_1,\phi_2$的旋转角为$\theta_1,\theta_2∈(-\pi,\pi]$.
$$\phi_1\circ\phi_2=\phi_2\circ\phi_1\iff\forall z\in\mathbb C:\exp(i\theta_1)(z-z_1)+z_1=\exp(i\theta_2)(z-z_2)+z_2$$
$$\iff\theta_1=\theta_2\wedge(1-\exp(i\theta_1))z_1=(1-\exp(i\theta_2))z_2$$
当$\theta_1=\theta_2=0$时$\phi_1\circ\phi_2=\phi_2\circ\phi_1$都是恒同变换
当$\theta_1=\theta_2\ne0$时$1-\exp(i\theta_1)≠0\implies z_1=z_2$

题 6
A,C,D置换出来6个仿射变换. 关于平面反射. 还有其它的吗

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