中值定理证明题

hbghlyj

13. 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$上连续, 在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(1)=6$. 证明：存在 $\xi \in(0,1)$使得$$\pi\sqrt{4-\xi^{2}}=f(\xi)+\sqrt{4-\xi^{2}} \arcsin \frac{\xi}{2} \cdot f^{\prime}(\xi)$$

Czhang271828

$\pi=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}|_{x=\xi}\left(\arcsin\dfrac{x}{2}\cdot f(x)\right)$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-27 17:26
$\pi=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}|_{x=\xi}\left(\arcsin\dfrac{x}{2}\cdot f(x)\right)$.

懂了.
$\pi={\arcsin \frac{1}{2} \cdot f(1)-\arcsin0\cdot f(0)\over1-0}$
$\exists\xi\in(0,1):\pi=(\arcsin \frac{\xi}{2} \cdot f(\xi))'=\frac1{\sqrt{4-\xi^{2}} }f(\xi)+\arcsin \frac{\xi}{2} \cdot f^{\prime}(\xi)$