函数 $f$ 连续 a.e. 且不存在连续函数 $g$ 使 $f=g$ a.e.

hbghlyj

Frank Jones - Lebesgue Integration on Euclidean Space-Jones and Bartlett (2001) page 166
Problem 6. 区间 $[0,1] \subset \mathbb{R}$ 上举如下例子：
(a) 一个函数 $f$ 和一个连续函数 $g$ 使得 $f=g$ a.e. 但 $f$ 无处连续；
(b) 函数 $f$ 连续 a.e. 使得不存在连续函数 $g$ 使 $f=g$ a.e.

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答：
(a) $f=χ_ℚ(x),g=1$.
(b) $f=χ_{(0,∞)}$.                 

Czhang271828

这例子有问题. 如果谈论的 real-valued measurable functions defined on $[0,1]$, 以下答案供参考.
(a) 处例子将定义域限制于 $[0,1]$ 即可, 无伤大雅;
(b) 处例子将不当, 建议选 $f=\chi_{[\frac{1}{2},1]}(x):[0,1]\to\mathbb R$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-14 11:52
这例子有问题. 如果谈论的 real-valued measurable functions defined on $[0,1]$, 以下答案供参考.
(a)  ...

哦，是的，我忽略了函数需要在 [0,1] 上定义