$\liminf s_n+\liminf t_n$和$\liminf(s_n+t_n)$什么时候相等

hbghlyj

两个实数序列$s_n,t_n$我知道$\liminf s_n + \liminf t_n \le \liminf (s_n+t_n)$ MSE 注意等式不成立
但在解决以下问题时
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关于试卷中的题 3(c) :

Solution: $f$ is an a.e. limit of measurable functions so measurable. As $\left|f_n\right|⩽g_n$, we have ${|f|}⩽g$ a.e. and hence $f∈\mathcal L^1(ℝ)$.
We have $g_n±f_n⩾0$ and $g_n±f_n→g±f$ a.e. Applying Fatou:
$$
\int(g±f)⩽\liminf\int\left(g_n±f_n\right)
$$
As $g_n⩾0$, and $\left\|g_n\right\|_1→{‖g‖}_1$, we have $\int g_n→\int g$. Therefore
$$
±\int f⩽\liminf\int\left(±f_n\right)
$$i.e.
$$
\int f⩽\liminf\int f_n⩽\limsup\int f_n⩽\int f
$$
Therefore $\lim\int f_n=\int f$.

在红色部分，它是否使用了 $\liminf\int\left(g_n±f_n\right)=\liminf\int g_n±\liminf\int f_n$？但这并不适用于一般的两个序列。

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-18 11:45
如果 $(s_n)$ 收敛，则$$\lim s_n + \liminf t_n = \liminf (s_n+t_n)$$这是正确的吗？

当然正确. 假设 $s_n$ 收敛至 $C$, 则对任意 $\varepsilon >0$ 总有
\[
\liminf(t_n+C-\varepsilon)<\lim s_n+\liminf t_n.
\]
另一边同理, 令 $\varepsilon \to 0$ 即可.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-18 08:28
当然正确. 假设 $s_n$ 收敛至 $C$, 则对任意 $\varepsilon >0$ 总有
\[
\liminf(t_n+C-\varepsilon)<\lim s_n+\liminf t_n.
\]
另一边同理, 令 $\varepsilon \to 0$ 即可.

谢谢。这将证明 1# 中的红色步骤。
虽然$\liminf s_n + \liminf t_n = \liminf (s_n+t_n)$不适用于一般的两个序列，但
当$s_n$或$t_n$收敛时它成立。
当$s_n$是$t_n$的常数倍时它也成立。

hbghlyj

如果$\liminf s_n + \liminf t_n = \liminf (s_n+t_n)$成立，是否总是存在 $A,B$ 不都为零，使得 $A\cdot s_n+B\cdot t_n$ 收敛？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-18 16:25
如果 $\liminf s_n + \liminf t_n = \liminf (s_n+t_n)$ 成立，是否总是存在 $A, B$ 不都为零，使得 $A\cdot s_n+B\cdot t_n$ 收敛? .

当然不是, $s_n=(-1)^{n}$, $t_n=(-1)^{n(n-1)/2}$. 改成子列才是充要条件.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-18 08:28

如果 $(s_n)$ 收敛，则$$\lim s_n + \liminf t_n = \liminf (s_n+t_n)$$

假设 $s_n$ 收敛至 $C$, 则对任意 $\varepsilon >0$ 总有
\[
\liminf(t_n+C-\varepsilon)<\lim s_n+\liminf t_n.
\]
另一边同理, 令 $\varepsilon \to 0$ 即可.

能否推广为
\[\liminf s_n + \liminf t_n \leq \liminf (s_n + t_n) \leq \limsup s_n + \liminf t_n\]
(当$s_n$收敛时,等式成立)

hbghlyj

设 $c=\liminf s_n + \liminf t_n,C=\limsup s_n + \liminf t_n$ 为固定常数，$\liminf (s_n + t_n)$ 是否可以取区间 $[c,C]$ 中的每个值

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-6-7 02:48
设 $c\liminf s_n + \liminf t_n,C=\limsup s_n + \liminf t_n$ 为固定常数，$\liminf (s_n + t_n)$ 是否可 ...

记数列 $A$ 各项为 $a_n=\dfrac{1+(-1)^n}2$, 数列 $B$ 各项为 $b_n=1-a_n$.

再记 $S=xA+yB$, $T=zA+wB$, 则三项极限分别为
\[
\min(x,y)+\min(z,w)\leq \min(x+z,y+w)\leq \max(x,y)+\min(z,w).
\]
取 $x=c$, $y=C\geq c$, $w=0$, $z=t-c$ 即可, 其中 $c\leq t\leq C$.