单位圆盘上全纯函数$f$在$\bar B_{1/3}(0)$有50个根,$\abs{f(0)}$上界

hbghlyj

从Conan Wu的博客看到的:

全纯函数 $f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$，如果 $f$ 在 $\bar B_{1/3}(0)$ 有 50 个根，证明 $\abs{f(0)}\leq 1/3^{50}$

概括：以这些点为根构造多项式，作商并使用最大模原理。

类似于Schwarz's Lemma
具体是怎样证明的

Czhang271828

就是一个个地把零点消解掉. 对 $z\in \mathbb D$, 定义 $\mathbb D$ 到自身的全纯自同构 ($|z_0|<1$)
\[
\Phi_{z_0}=\dfrac{z-z_0}{1-z\overline {z_0}}.
\]
那么存在 $50$ 个形如 $\Phi_{z_0}$ ($|z_0|\leq \dfrac 13$) 的 $\mathbb D$-全纯自同构 $\{\Phi_{z_i}\}_{i=1}^{50}$ 使得 $g(z):=\dfrac{f(z)}{\prod_{i=1}^{50}\Phi_{z_i}(z)}$ 是 $\mathbb D$ 上无零点的全纯函数. 对 $g(z)$ 边缘使用极大模原理, 可知 $|g(z)|\leq 1$ (实际上, 若规定 $\mathbb D$ 不包括边界, 则无法取等). 注意到
\[
|f(0)|\leq \prod_{i=1}^{50}\left|\dfrac{0-z_i}{1-0\overline {z_i}}\right|=\prod_{i=1}^{50}|z_i|\leq \dfrac{1}{3^{50}}.
\]