射影变换将椭圆映为一条抛物线

hbghlyj

在射影变换下，一条椭圆若映为一条抛物线，那么椭圆的内部映为抛物线内部？
例如$x^2+y^2\le1\mapsto\left(x\over y+1\right)^2+\left(y\over y+1\right)^2\le1$.

hbghlyj

证明见forum.php?mod=viewthread&tid=10949

hbghlyj

[s]因为保持连通性, 椭圆外部的像为抛物线外部或抛物线内部.

设$f$把抛物线映到椭圆。无穷远线$l$是抛物线的一切线，所以$g(l)$是椭圆的一切线。
取一个$p∈l$，$p$在抛物线外部，且$g(p)$在椭圆外部。

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-4-29 07:14
因为保持连通性, 椭圆外部的像为抛物线外部或抛物线内部.

取一个无穷远点$p$

二楼和三楼的操作都没什么问题. 但应注意, 没有无穷远点这一说.

[1] Riemann 球 $\mathbb CP^1=(\mathbb C^2)^\ast/\sim $, 等价于将单位圆盘的边界商成一点, 从而有无穷远点.
[2] 此处 $\mathbb RP^2=(\mathbb R^3)^\ast /\sim$ 等价于将单位圆盘对径的边界点商成一点, 单位圆盘边界在商空间下的像都是无穷远. 椭圆与无穷远不相交, 抛物线与无穷远有且仅有一个切点(此题是 $(0,1):=[0:1:1]$ 的像), 双曲线与无穷远有且仅有两个交点.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-4-29 06:53
[1] Riemann 球 $\mathbb CP^1=(\mathbb C^2)^\ast/\sim $, 等价于将单位圆盘的边界商成一点, 从而有无穷远点.
[2] 此处 $\mathbb RP^2=(\mathbb R^3)^\ast /\sim$ 等价于将单位圆盘对径的边界点商成一点, 单位圆盘边界在商空间下的像都是无穷远. 椭圆与无穷远不相交, 抛物线与无穷远有且仅有一个切点(此题是 $(0,1):=[0:1:1]$ 的像), 双曲线与无穷远有且仅有两个交点.

$\mathbb CP^1$ is homeomorphic to $S^2$ while $\mathbb RP^2$ is neither orientable nor embedded in $\mathbb R^3$.