请教三道函数题

hjfmhh

kuing

16：forum.php?mod=viewthread&tid=7800

hjfmhh

kuing 发表于 2023-4-28 22:58
16：https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7800

谢谢。第8题b,c怎么比较，第11题C选项怎么说明？

kuing

11：先证明 D 是对的：（为了码字方便，用 `a`, `b` 代替 `\alpha`, `\beta`）
\begin{align*}
&\cos(a+b)=\cos a+\cos b\\
\iff{}&(\cos a-1)\cos b-\sin a\sin b=\cos a\\
\iff{}&\sqrt{(\cos a-1)^2+\sin^2a}\sin(b+\varphi)=\cos a,
\end{align*}
所以
\[\frac{\cos^2a}{(\cos a-1)^2+\sin^2a}=\sin^2(b+\varphi)\leqslant1,\]
记 `t=\cos a`，上式即
\[\frac{t^2}{(t-1)^2+1-t^2}\leqslant1\riff t\leqslant\sqrt3-1,\]
所以 D 是对的，那么 C 就是错的，因为当 `a` 接近 `2\pi` 时 `\cos a` 接近 `1`，就大于 `\sqrt3-1` 了。

hjfmhh

kuing 发表于 2023-4-28 23:31
11：先证明 D 是对的：（为了码字方便，用 `a`, `b` 代替 `\alpha`, `\beta`）
\begin{align*}
&\cos(a+b)= ...

嗯，答案选了ACD,我一直觉得有问题

facebooker

11题 c括号的部分>1/4  而ln2<0.7 ， b c取个对数再比较就行了啊