Laurent级数 疑问

hbghlyj

Theorem 9.16.

圆环 $A=\left\{z \in \mathbb{C}: r<\left|z-z_{0}\right|<R\right\}$ 点 $w∈A$ 因为$w$在$\gamma_R$内,在$\gamma_r$外: $\gamma_R$关于$w$的环绕数为$1$, $\gamma_r$关于$w$的环绕数为$0$, 那么右图下边的公式第2个积分$\int_{\gamma_{r}} \frac{f(z)}{z-w} d z$为0, 既然是0为什么还要带着它

hbghlyj

懂了, 这里的关于$\Gamma=\gamma_R\cup\gamma_r^{-1}$的柯西积分公式不是由$\gamma_R$和$\gamma_r^{-1}$简单地加得的:
用$\Gamma$是为了适用于$\gamma_r$内部有奇点的情况(因为$\gamma_r$内部在$\Gamma$外部)

• 若$\gamma_r$内的奇点都是可去的,确实像1#所说的那样,可由$\gamma_R$和$\gamma_r^{-1}$的柯西积分公式相加得,而且关于$\gamma_r$的环绕数为0,所以第2个积分为0
• 否则不能成立$\gamma_R$和$\gamma_r^{-1}$的柯西积分公式
  

hbghlyj

关于这个证明的后半段

若$\sum_{n\in\Bbb Z}c_nz^n$与$\sum_{n\in\Bbb Z}d_nz^n$都一致收敛到$f(z)$, 则$c_n=d_n$.
证明中用到了一致收敛:proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Uniform_Limit_of_Analytic_Functions
\[|f'_n(w)−f'(w)|=\frac 1 {2 \pi} \abs{\int_{\partial D_r(w)} \frac {f_n(z) - f(z)} {(z - w)^2} \rmd z}\le\frac {2 \pi r} {2 \pi} \sup_{z \mathop \in \partial D_r(w)} \frac {\abs{f_n(z)- f(z)} } {r^2}\]

hbghlyj

$\exp(z^{-1})=\sum_{n=0}^\infty{z^{-n}\over n!}$是否一致收敛

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-5-19 06:14
$\exp(z^{-1})=\sum_{n=-\infty}^0{z^{-n}\over n!}$是否一致收敛

$(-|n|)!$ 需要定义.

以及, 内闭一致收敛就足够了.