两个$(1+x)^{1/2}$相乘

hbghlyj

kuing 发表于 2022-9-12 18:25
那就归纳法呗，假设
\[\frac1{(1-x)^n}=1+nx+C_{n+1}^2x^2+C_{n+2}^3x^3+\cdots,\]
则

假设 $$(1+x)^{1/2}=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k$$ 直接代入$2x+x^2$得 \begin{equation}\label1 (1+(2x+x^2))^{1/2}=\sum_{k=0}^\infty a_k(2x+x^2)^k\end{equation} 相乘得\begin{equation}\label2 (1+(2x+x^2))^{1/2}=(1+x)^{1/2}(1+x)^{1/2}=\sum_{i=0}^\infty(\sum_{k=0}^ia_ka_{i-k})x^i \end{equation} 这2个都等于$1+x$
\eqref{1}收敛域$\abs{2x+x^2}<1\iff x\in(-1-\sqrt2,-1+\sqrt2)$
\eqref{2}收敛域$\abs x<1\iff x\in(-1,1)$

hbghlyj

这两个区间互不包含

hbghlyj

复数上画出$\abs{2z+z^2}<1$
WolframAlpha

$-1$不是$\abs{2z+z^2}<1$的内点(以$-1$为中心作圆无法在区域内部)
是否存在$f(z)$在$\abs z<1$收敛, 但$f(2z+z^2)$在$-1$不收敛

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-5-24 10:34
是否存在$f(z)$在$\abs z<1$收敛, 但$f(2z+z^2)$在$-1$不收敛

$\log(2z+z^2)$
Series expansion at $z=-1$
WolframAlpha

1. Series[Log[z (2 + z)], {z, -1, 7}]

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输出

1. Piecewise[{{Conjugate[I Pi - (1 + z)^2 - (1 + z)^4/2 - (1 + z)^6/3 + O[1 + z]^7], Im[(1 + z)^2] < 0}}, I Pi - (1 + z)^2 - (1 + z)^4/2 - (1 + z)^6/3 + O[1 + z]^7]

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即\begin{cases} -1/3 (z^* + 1)^6 - 1/2 (z^* + 1)^4 - (z^* + 1)^2 - i π & \Im((z + 1)^2)<0\\
-1/3 (z + 1)^6 - 1/2 (z + 1)^4 - (z + 1)^2 + i π &\text{ (otherwise)}
\end{cases}发现有2个分支