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来源
第一问: 若 $[0,\pi]$ 上连续函数 $f(x)$ 满足
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{d} x =0,
$$
则 $f$ 在 $(0,\pi)$ 上至少有两个相异的零点. 证明分作三步
- (证明零点存在) 注意到连续函数
$$
F(x):=\int_0^xf(t)\sin t\mathrm dt
$$
满足 $F(0)=F(\pi)=0$, 从而 $F'(x)=f(x)\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上有零点 $x_0$, 此处 $\sin x_0\neq 0$.
- (证明零点数 $\geq 2$) 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的唯一零点, 则
$$
\int_0^\pi f(x)\sin (x-x_0)\mathrm dx=0.
$$
此处 $\displaystyle{\int_0^\pi f(x)\cdot (-)\mathrm dx}$ 将 $\{\sin x,\cos x\}$ 的线性组合映射至 $0$, 自然包括 $\sin (x-x_0)$. 由于 $f(x)$ 与 $\sin (x-x_0)$ 的变号位置相同, 从而 $f(x)\sin (x-x_0)$ 在 $(0,\pi)$ 上积分不为零, 矛盾.
- (构造零点数 $=2$) $f(x)=\sin 3x$ 符合条件, 并且在 $(0,\pi)$ 上恰有两个零点.
第二问: 若 $[0,\pi]$ 上连续函数 $f(x)$ 满足
$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{d} x =0,
$$
则 $f$ 在 $(0,\pi)$ 上至少有两个相异的零点. 证明同上, 恰好取等的例子是折线
$$
(0,1)\to (\pi/2,-1)\to (\pi,1).
$$
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