证明数列有界

lemondian

给定实数$k >1$，设$0<a_1<1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a^k _n}{n^k},n=1,2,3,\cdots .$
证明：{$a_n$}有界。

lemondian

若改为$k\geqslant 2$呢？

kuing

关于“不注明猜想”这事，楼主这个做法已不是首次，比如：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10705

老是这样很容易坑人，减分以警告

Czhang271828

我认为提出这个猜想是蛮自然的, 并且该猜想确实成立; 然而题主没有对自己的尝试作过多说明, 我姑且讲讲自己的一些看法.

我在参赛时第一想法是写出 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac{a_n^{k-1}}{n^k}$, 从而得
$$
a_{n+1}=a_1\cdot \prod_{1\leq k\leq n}\left(1+\dfrac{a_n^{k-1}}{n^k}\right)\leq a_1\exp\sum_{1\leq k\leq n}\dfrac{a_n^{k-1}}{n^k}.
$$
为证明 $a_n$ 之有界性, 只需证明 $a_n$ 的增长速率小于等于 $\mathcal O(n^{1-\varepsilon})$ 即可(存在给定的 $\varepsilon $).

---------既证 $a_n=\mathcal O(1)$ 和 $a_n=\mathcal O(n^{1-\varepsilon})$ 等价, 后面其实没必要写了---------

发现与知乎回答思路一致. 原回答文字较多, 故隐藏.

隐藏内容

当然想法终究是想法, 很快就被否定了, 彼题正解当然是类似 kuing 所写的取倒数数列. 此处接着'想法'继续.

置 $a_1=1$, 则通解为 $a_n=n$. 根据单调性, 不难得出结论: 对 $a_1<a_1'<1$, 总有
$$
a_n<a_n'<n\qquad (\forall n\in \mathbb N_+).
$$
并且我们有理由相信, $\{(n,a_n)\}_{n\in \mathbb N_+}$ 的图像在某条凹曲线上(二阶导负). 并据此猜想 $a_n\leq n^{1-\varepsilon(a_1,k)}$, 其中 $\varepsilon (a_1,k)$ 是由 $a_1$ 与 $k$ 共同决定的小量, 且
\begin{align*}
&\lim_{a_1\to 1^-}\varepsilon (a_1,k)=\lim_{k\to 0^+}\varepsilon(a_1,k)=0,\\[8pt]
&\lim_{a_1\to 0^+}\varepsilon (a_1,k)=\lim_{k\to +\infty}\varepsilon(a_1,k)=1.
\end{align*}
显然 $n=1$ 时成立. 归纳假设为 $a_n\leq n^{1-\varepsilon}$, 从而
$$
a_{n+1}\leq n^{1-\varepsilon}+n^{-\varepsilon k}.
$$
为使得归纳假设成立, 则应有
$$
n^{-1-\varepsilon (k-1)}+1\leq (n+1)^{1-\varepsilon}.
$$
我们希望 $(n+1)^{1-\varepsilon }\geq 1+n^{1-\varepsilon }$ 足以应付上界, 从而
$$
n^{-1-\varepsilon (k-1)}\leq n^{1-\varepsilon},
$$
即, $n^{2-2\varepsilon +\varepsilon k}\geq 1$. 到这里就显然了.

lemondian

Czhang271828 发表于 2023-6-24 16:37
我认为提出这个猜想是蛮自然的, 并且该猜想确实成立; 然而题主没有对自己的尝试作过多说明, 我姑且讲讲自己 ...

谢谢！虽然看得不太懂，

Czhang271828

原题似乎很早之前就出现过了呢.

APPSYZY

在知乎看到一个回答，不知道对不对：zhihu.com/question/608732625