1/(z-λ)^2求和

hbghlyj

维基百科：双周期函数
知乎：复变随记（九）椭圆函数双周期的由来（代码开源）
在notes9.dvi的第1页读到：$$\sum_{\lambda \in \Lambda} \frac{1}{(z-\lambda)^{2}}\tag2$$the series above does not converge

hbghlyj

WolframAlpha算出$$\sum_{y=-∞}^∞ \frac1{(z-x - i y)^2} = π^2 \operatorname{csch}^2(π x - π z)$$那么$$\sum_{\lambda\in \Bbb Z[i ]}\frac1{(z-\lambda)^2}=\sum_{x=-∞}^∞ π^2\operatorname{csch}^2(π x -1)$$
代入$z=1/π$，WolframAlpha算出结果 = 7.71732
这说明(2)对于某些 z ∉ Λ 是收敛的所以不太理解1#引用的这句话.

与MSE帖子的区别：它是在$\Bbb Z^+$求和，证明了收敛；而这里是在 $\Lambda=ℤ[i ]$ 求和，不知是否收敛⋯