一个含参值域问题（求手算/机算结果）

力工

说明与请求：字母太多，七里八拐绕不出来，请求大佬援手，高手机算也行。谢谢
已知$a,b$满足$a>b>0$,求$f(x)=\frac{(b^2+x^2)^\frac{3}{2}}{\abs{b^3-(a-b)x^2}}$的值域。

kuing

平方，换元，求导，很常规啊。

显然 `f(x)` 可以无穷大，下面求最小值，令 `a-b=c>0`, `x^2=t\geqslant0`，有
\[f(x)^2=\frac{(b^2+t)^3}{(b^3-ct)^2}=g(t),\]
求导得
\[g'(t)=\frac{(b^2+t)^2\bigl(b^2(3b+2c)-ct\bigr)}{(b^3-ct)^3},\]
只有一个极值点，还需要和端点比较，所以
\[g(t)_{\min}=\min\left\{g\left(\frac{b^2(3b+2c)}c\right),g(0)\right\}=\min\left\{\frac{27b^2(b+c)}{4c^3},1\right\},\]
开荒并用回 `a` 表示就是
\[f(x)_{\min}=\min\left\{\frac{3b}{2(a-b)}\sqrt{\frac{3a}{a-b}},1\right\}.\]

力工

kuing 发表于 2023-7-14 15:03
平方，换元，求导，很常规啊。

显然 `f(x)` 可以无穷大，下面求最小值，令 `a-b=c>0`, `x^2=t\geqslant0` ...

只想到了求导，加分类讨论，后面就糊了。