求证不等式

lemondian

当$p>1,n>2$时，试证明：$\dfrac{1}{n^p}<\dfrac{1}{p-1}(\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{n^{p-1}})$

lemondian

点了两次，重发了。
如何删除呢？

kuing

当主题还没有回复时可以自行删除，方法见：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9112
所以你现在可以去另一个帖里把它删掉。

kuing

1# 不等式的更一般形式见：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4042

lemondian

kuing 发表于 2023-8-28 22:05
1# 不等式的更一般形式见：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4042 ...

是不是这样：
在kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4042中
有$\dfrac{1}{(m-d)^a}-\dfrac{1}{(m+d)^a}>\dfrac{2da}{m^{a+1}}$.
令$m=n,d=1,a=p-1$，可得$\dfrac{2(p-1)}{n^p}<\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{p-1}}$,即$\dfrac{2}{n^p}<\dfrac{1}{(p-1)}(\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{p-1}})$。
又因为$\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{n^{p-1}}<\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{p-1}}$，且$\dfrac{1}{n^p}<\dfrac{2}{n^p}$.
所以$\dfrac{1}{n^p}<\dfrac{2}{n^p}<\dfrac{1}{(p-1)}(\dfrac{1}{(n-1)^{p-1}}-\dfrac{1}{(n+1)^{p-1}})$。
然后呢？我整不来了

kuing

lemondian 发表于 2023-8-28 23:24
是不是这样：
在https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4042中
有$\dfrac{1}{( ...

还是应该取 d=0.5 啊，有
\[\frac{p-1}{n^p}<\frac1{(n-0.5)^{p-1}}-\frac1{(n+0.5)^{p-1}},\quad(*)\]
然后易证
\[\frac1{(n-0.5)^{p-1}}-\frac1{(n+0.5)^{p-1}}<\frac1{(n-1)^{p-1}}-\frac1{n^{p-1}},\]
所以式 (*) 强于 1#。

lemondian

‘易证’下面这个不等式，没看懂哩，麻烦kuing再教一下吧

kuing

lemondian 发表于 2023-8-29 01:17
‘易证’下面这个不等式，没看懂哩，麻烦kuing再教一下吧

真是写少一点儿都不行吗
令 `f(x)=x^{1-p}-(x+1)^{1-p}`，易得 `f'(x)<0` 故 `f(n-0.5)<f(n-1)`。

lemondian

kuing 发表于 2023-8-29 01:41
真是写少一点儿都不行吗
令 `f(x)=x^{1-p}-(x+1)^{1-p}`，易得 `f'(x)

谢谢了！
学习kuing的解法后，我用拉格朗日中值定理也证到1#的不等式

kuing

lemondian 发表于 2023-8-29 18:00
谢谢了！
学习kuing的解法后，我用拉格朗日中值定理也证到1#的不等式

但拉格朗应该证不出 6# 的式 (*)

kuing

lemondian 发表于 2023-8-29 18:00
谢谢了！
学习kuing的解法后，我用拉格朗日中值定理也证到1#的不等式

咳，1# 其实是从积分来的，就是写成
\[\frac1{n^p}<\int_{n-1}^n\frac1{n^p}\rmd x,\]
从几何意义看是显然成立。

hbghlyj

kuing 发表于 2023-8-29 23:24
咳，1# 其实是从积分来的，就是写成
\[\frac1{n^p}<\int_{n-1}^n\frac1{n^p}\rmd x,\]
从几何意义看是显然成立。

积分第一中值定理

lemondian

kuing 发表于 2023-8-29 23:24
咳，1# 其实是从积分来的，就是写成
\[\frac1{n^p}

积分已经差不多忘光了，kuing详写一下呗