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陕A爱好者α(1298******) 13:44:47
这个怎么做 给点意见呗
定理：设 $f(x)$ 在区间 $D$ 内有定义，设 $d\geqslant0$ 且 $m-d$, $m+d\in D$，若在 $D$ 内恒有 $f'''(x)\geqslant 0$，则
\[f(m+d)-f(m-d)\geqslant f'(m)\cdot 2d,\]
若恒有 $f'''(x)\leqslant 0$，则上式反向成立。若 $d>0$ 且 $f'''(x)$ 不存在为恒零的区间，则不等式的等号也取不了。
证明：只证 $f'''(x)\geqslant 0$ 的情形，反向的类似。令
\[g(d)=f(m+d)-f(m-d)-f'(m)\cdot 2d,\]
则 $g(0)=0$，且
\[g'(d)=f'(m+d)+f'(m-d)-2f'(m),\]
因为 $f'''(x)\geqslant 0$，故 $f'(x)$ 为下凸函数，于是由琴生不等式，有
\[f'(m+d)+f'(m-d)\geqslant 2f'\left( \frac{m+d+m-d}2 \right)=2f'(m),\]
即 $g'(d)\geqslant 0$，所以 $g(d)\geqslant 0$。至于取等那事儿是易见的，定理得证。$\square$
现在，设 $a>0$，令
\[f(x)=\frac1{x^a}\riff f'''(x)=\frac{-a(a+1)(a+2)}{x^{a+3}}<0,\]
那么，当 $m>d>0$ 时，根据定理，有
\[f(m+d)-f(m-d)<f'(m)\cdot 2d,\]
代入整理即得
\[\frac1{(m-d)^a}-\frac1{(m+d)^a}>\frac{2da}{m^{a+1}},\]
此时再令 $m=n$, $d=0.5$, $a=k-1$，即得
\[\frac1{(n-0.5)^{k-1}}-\frac1{(n+0.5)^{k-1}}>\frac{k-1}{n^k},\]
这比原题更强一些。 |
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郭嵩阳
Posted 2016-6-11 01:51
