Vitali covering lemma

hbghlyj

Real Analysis, Stein, Chapter 3. DIFFERENTIATION AND INTEGRATION page 102

Lemma 1.2 Suppose $\mathcal{B}=\left\{B_1, B_2, \ldots, B_N\right\}$ is a finite collection of open balls in $\mathbb{R}^d$. Then there exists a disjoint sub-collection $B_{i_1}, B_{i_2}, \ldots, B_{i_k}$ of $\mathcal{B}$ that satisfies
$$
m\left(\bigcup_{\ell=1}^N B_{\ell}\right) \leq 3^d \sum_{j=1}^k m\left(B_{i_j}\right)
$$

这里的$3^d$是最佳常数吗？

hbghlyj

原书证明中，第一个不等式$$m(B'\cup B)\le m(\tilde B)=3^dm(B)$$不能取等吧，因为$B$的半径大于$B'$的半径。

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-9-24 04:17

走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-6-18 23:41
类似于上例,我们可以证明如下问题.

• 设平面上有有限多个正方形,覆盖面积为 $S$ 的区域, 求证: 可从中取出若干个互不相交的正方形,使之覆盖面积大于等于 $\frac{S}{1+2 \pi+4 \sqrt{2}}$.
• 设平面上有有限多个正三角形,覆盖面积为 $S$ 的区域, 求证: 可以从中取出若干个互不相交的正三角形,使其覆盖面积大于等于 $\frac{S}{1+4 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \sqrt{3} \pi}$.
• 设平面上有有限个形状相同的多边形覆盖面积为 $S$ 的区域, 求证: 存在常数 $\alpha, 0<\alpha<1$, 它仅与多边形形状有关, 使得可以从上述覆盖中选出若干个互不相交的多边形覆盖面积大于等于 $\alpha S$ 的区域.

一般地,成立着下述的维太利型覆盖定理:
设平面上有有限多个形状相似的图形, 它们覆盖面积为 $S$ 的区域. 那么存在数 $\alpha$, $0<\alpha<1$, 它仅与相似形的形状有关, 使得总可以从上述覆盖选出若干个互不相交的图形,其覆盖面积大于等于 $\alpha S$.

1. 与面积为1的正方形相交的相同的正方形扫出的区域是橙色区域，
其面积$=1+4\times(\frac\pi2\times1^2)+4\times(\sqrt2\times1)$$=1+2 \pi+4 \sqrt{2}$

2. 与面积为1的正三角形相交的相同的三角形扫出的区域是橙色区域，
其面积$=1+3a^2+3\times(\frac13\times\pi a^2)=1+4 \sqrt{3}+\frac{4}{3} \sqrt{3} \pi$

一般图形的证明是同样的吧

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-11-8 14:30
第一个不等式$m(B'\cup B)\le m(\tilde B)=3^dm(B)$不能取等吧 ...

确实不能取等。但这个常数$3^d$是最佳的，因为$N\to\infty$时，无限个$B'$的并集可以接近覆盖整个$\tilde B$.

hbghlyj

Wikipedia上有一个无穷多集合的版本：
Theorem (Infinite Covering Lemma). Let $ \mathbf {F}$ be an arbitrary collection of balls in a separable metric space such that$ {\displaystyle R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \}<\infty } $where $ \mathrm {rad} (B) $ denotes the radius of the ball B. Then there exists a countable sub-collection $ \mathbf {G} \subset \mathbf {F} $ such that the balls of $ \mathbf {G} $ are pairwise disjoint, and satisfy$ {\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.} $And moreover, each $ B\in \mathbf {F} $ intersects some $ C\in \mathbf {G} $ with $ B\subset 5C $.

为什么这里的常数是5呀

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-6-19 20:17
Wikipedia上有一个无穷多集合的版本：
Theorem (Infinite Covering Lemma). Let $ \mathbf {F}$ be an arbitrary collection of balls in a separable metric space such that$ {\displaystyle R:=\sup \,\{\mathrm {rad} (B):B\in \mathbf {F} \}<\infty } $where $ \mathrm {rad} (B) $ denotes the radius of the ball B. Then there exists a countable sub-collection $ \mathbf {G} \subset \mathbf {F} $ such that the balls of $ \mathbf {G} $ are pairwise disjoint, and satisfy$ {\displaystyle \bigcup _{B\in \mathbf {F} }B\subseteq \bigcup _{C\in \mathbf {G} }5\,C.} $And moreover, each $ B\in \mathbf {F} $ intersects some $ C\in \mathbf {G} $ with $ B\subset 5C $.

为什么这里的常数是5呀

参考 Infinite version 中 Remark 第三条. 把上文 Proof 中的
$$
{\displaystyle \mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :2^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq 2^{-n}R\}.}
$$
换成 ($\forall c=(1+\varepsilon _0)>1$)
$$
{\displaystyle \mathbf {F} _{n}=\{B\in \mathbf {F} :(1+\varepsilon _0)^{-n-1}R<{\text{rad}}(B)\leq (1+\varepsilon _0)^{-n}R\}.}
$$
即可. 常数不必是 $5$, 任意大于 $3$ 的数都能使得定理成立.

二楼应该是给出了无限覆盖中 $3$ 不能取到的反例. 考虑 $\mathbb R$ 中开球族
$$
\mathscr B:=\bigsqcup_{|x|<1}\left(\bigsqcup_{|x|<r<(|x|+2)/3}\{B_r(x)\}\right).
$$
显然任意两个开球相交, 因此 $\mathscr B$ 的不交子开球族只能是一元集或空集; 由于
$$
\bigcup \mathscr B=\bigcup_{|x|<1}\left(\bigcup_{|x|<r<(|x|+2)/3}B_r(x)\right)=(-2,2),
$$
对任意 $B\in \mathscr B$, 总有 $3B$ 无法覆盖 $(-2,2)$. 这说明 $3$ 使得定理不成立.

hbghlyj

Introduction to Geometric Measure Theory
The proof of 3.3 will make use of the following important "5-times covering lemma," in which we use the notation that if $B$ is a ball $B_\rho(x) \subset X$, then $\widehat{B}=B_{5 \rho}(x)$.