测试

realnumber

en ,大概这样,总体用数学归纳法进行证明
先证明$a_i$都在（0，1],或都大于1，
假设$0\le x=a_1\le a_2\le a_3\cdots \le a_n\le1$,待证的不等式两边取自然对数后作差，构造函数，对x求导证明.

引理1：若$0\le b\le1 \le a $,则$\frac{1+a^{n+1}}{1+a^n}\frac{1+b^{n+1}}{1+b^n}\ge \frac{1+(ab)^{n+1}}{1+(ab)^n}$.
证明：\[ \iff (1+a^{n+1}+b^{n+1}+(ab)^{n+1})(1+(ab)^n)\ge (1+a^n+b^n+(ab)^n)(1+(ab)^{n+1})\]
\[ \iff  a^{n+1}+b^{n+1}+(ab)^na^{n+1}+(ab)^nb^{n+1}\ge a^n+b^n+(ab)^{n+1}a^n+(ab)^{n+1}b^n\]
\[ \iff  a^n(a-1)(1-b^{2n+1})+b^n(1-b)(a^{2n+1}-1)\ge 0 \]
(3楼)引理2:若$m\ge n,a\ge 0$,$\frac{1+a^{m+1}}{1+a^m}\ge \frac{1+a^{n+1}}{1+a^n}$.
证明：\[ \iff 1+a^{m+1}+a^n+a^{m+n+1}\ge  1+a^{n+1}+a^m+a^{m+n+1} \iff (a-1)(a^m-a^n)\ge 0\]
以下用数学归纳法证明3楼$n=\frac{k-1}{2}$时的情景，
k=2时，楼上已证
假设$k\le t$时,命题成立，当k=t+1时，若有部分$a_i$大于1，部分$a_i$小于1，比如$a_1>1,a_2<1$,则由引理1，令$z=a_1a_2$
只需要证明\[\frac{1+z^{n+1}}{1+z^n}\frac{1+a_3^{n+1}}{1+a_3^n}\frac{1+a_4^{n+1}}{1+a_4^n}\cdots \frac{1+a_k^{n+1}}{1+a_k^n}\ge \frac{1+za_3a_4\cdots a_k}{2}\]
而这个由引理2以及归纳假设，成立.
若$a_i>1,i=1,2,\cdots ,k$, 则令$a_i=\frac{1}{b_i}$,代入1楼两边，两边再乘以$b_1b_2\cdots b_k$,可以化为1楼形式，
如此不妨设$0\le x=a_1\le a_2 \le a_3\le \cdots \le a_k \le 1$
并设

\[  f(x)= \ln{\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n} \frac{1+a_2^{n+1}}{1+a_2^n} \frac{1+a_3^{n+1}} {1+a_3^n} \cdots
\frac{1+a_k^{n+1}}{1+a_k^n}} - \ln{ \frac{1+x a_2 a_3 \cdots a_k}{2}}，0\le x \le a_2 \le 1\]
(注意到$f(0)\ge 0,f(a_2)\ge 0$(待证) , 由为k=t时的归纳假设以及引理2可证,只要证明$f'(x)\le 0 $)
\[ f'(x)=\frac{(n+1)x^n}{1+x^{n+1}}-\frac{nx^{n-1}}{1+x^n}-\frac{a_2a_3\cdots a_k}{1+xa_2a_3\cdots a_k}\le \frac{(n+1)x^n}{1+x^{n+1}}-\frac{nx^{n-1}}{1+x^n}-\frac{x^{2n}}{1+x^{2n+1}} \le 0\]
\[\iff  \frac{n}{1+x^n}+\frac{x^{n+1}}{1+x^{2n+1}}-\frac{(n+1)x}{1+x^{n+1}}\ge 0  \]
\[\iff  n(1+x^{2n+1})(1+x^{n+1})+x^{n+1}(1+x^n)(1+x^{n+1})-(n+1)x(1+x^{2n+1})(1+x^n)\ge 0  \]
\[\iff  n+(n+1)x^{2n+1}-nx^{2n+2}-(n+1)x\ge0 \]
记$g(x)= n+(n+1)x^{2n+1}-nx^{2n+2}-(n+1)x,0\le x \le 1$
而$g(0)=n\ge 0,g(1)=0，g'(x)=(n+1)((2n+1)x^{2n}-2nx^{2n+1}-1)\le0$
$ \iff 1+x^{2n+1}+\cdots+x^{2n+1}\ge (2n+1)x^{2n}$
，以下证明$f(a_2)\ge 0$
即要证明$0\le x=a_1= a_2 \le a_3\le \cdots \le a_k \le 1,k=2n+1$时,1楼不等式成立.
此时\[  f(x)= \ln{((\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n})^2 \frac{1+a_3^{n+1}}{1+a_3^n} \frac{1+a_4^{n+1}} {1+a_4^n} \cdots
\frac{1+a_k^{n+1}}{1+a_k^n})} - \ln{ \frac{1+x ^2a_3 a_4 \cdots a_k}{2}}，0\le x \le a_3 \le 1\]
\[ f'(x)=\frac{2(n+1)x^n}{1+x^{n+1}}-\frac{2nx^{n-1}}{1+x^n}-\frac{2xa_3a_4\cdots a_k}{1+x^2a_3a_4\cdots a_k}\le \frac{2(n+1)x^n}{1+x^{n+1}}-\frac{2nx^{n-1}}{1+x^n}-\frac{2x^{2n}}{1+x^{2n+1}} \le 0\]
\[\iff  \frac{n}{1+x^n}+\frac{x^{n+1}}{1+x^{2n+1}}-\frac{(n+1)x}{1+x^{n+1}}\ge 0  \]
前面已证.
证明$0\le x=a_1= a_2 = a_3\le \cdots \le a_k \le 1$直至
$0\le x=a_1= a_2 = a_3= \cdots = a_k \le 1$也是如此.这样1楼问题得证.

kuing

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hbghlyj

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