$y=\sqrt[3]{x+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{1+x^2}}$ 的反函数

APPSYZY

求函数 $$y=\sqrt[3]{x+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{1+x^2}}$$ 的反函数.

kuing

令
\begin{align*}
a&=x+\sqrt{1+x^2},\\
b&=x-\sqrt{1+x^2},
\end{align*}
则有
\begin{align*}
a+b&=2x,\\
ab&=-1,
\end{align*}
因为
\[\bigl(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\bigr)^3=a+b+3\sqrt[3]{ab}\bigl(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\bigr),\]
所以
\[y^3=2x-3y,\]
即
\[x=\frac{y^3+3y}2.\]

hejoseph

这个很明显的三次方程根的形式：方程 $x^2+px+q=0$ 的一根为
\[
x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}
\]
题目中
\[
-\frac{q}{2}=x，\frac{p}{3}=1
\]
就得到
\[
y^3+3y-2x=0
\]