求助一道中考题，有没有更巧妙的方法

匠心

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝$\dfrac{1}{3}$BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．当0°＜α＜180°时，如图，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

此题原图

标准答案及辅助线，没想到其他方法（感觉只有唯一解），请求大神有没有其余方法
过点D作DG⊥BF于点G，
由旋转得：DE＝BD＝$\dfrac{1}{3}$BC，
∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴$\dfrac{DG}{CF}$＝$\dfrac{BG}{BF}$＝$\dfrac{BD}{BC}$＝$\dfrac{1}{3}$，
∵BD＝DE，DG⊥BE，
∴BG＝EG，
∴BG＝EG＝EF，
∵EF＝CF，
∴CF＝BG＝$\dfrac{1}{3}$BF，
由①知，AF＝$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$BE＝$\sqrt{2}$BG＝$\sqrt{2}$CF＝CE，
∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，
∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CBE＝∠ACE，
∴∠CAF＝∠ACE，
∴AF∥CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．

战巡

令$BC$中点为$O$，连$FO$

显然有$BO=CO=FO$，于是$\angle FOB=\angle CBF=\angle BED$，故此$DE\parallel FO$，即有
\[\frac{BD}{DO}=\frac{BE}{EF}=2\]
即$BE=2EF=2CF$

另一方面，$\angle BAC=\angle CFE=90\du$，即有$A,B,C,F$共圆，有$\angle CBF=\angle CAF$，以及$\angle CFA=135\du=\angle CEB$，即$\Delta CFA \sim \Delta CEB$，也就有
\[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{CF}{CE}=\frac{AF}{BE}=\frac{AF}{2CF}\]
于是
\[AF=\sqrt{2}CF=CE\]

同样由共圆得到$\angle BFA=\angle BCA=45\du=\angle CEF$，于是$AF\parallel CE$
合起来就有$AFCE$为平行四边形

乌贼

如图：
$ ABCF $四点共圆有\[ \angle AFB=\angle ACB=\angle FEC\riff AF\px CE \]
$ D $为圆心半径为$ BD $的圆交$ AB $于$ N $,$ M $为$ AC $与$ EF $交点。\[ \angle BEN=45\du  \]得$ NEC $三点共线。\[ \triangle CFM\sim \triangle CDN\riff \dfrac{CF}{FM}=\dfrac{CD}{DN}=2 \]即$ M $为$ EF $中点，故\[ \triangle AMF\cong \triangle CME\riff AF=CE \]综上$ AFCE $为平行四边形

匠心

战巡 发表于 2023-11-9 03:17
令$BC$中点为$O$，连$FO$

显然有$BO=CO=FO$，于是$\angle FOB=\angle CBF=\angle BED$，故此$DE\parallel  ...

非常感谢，这个辅助线确实没有想到，膜拜一下

匠心

乌贼 发表于 2023-11-9 19:03
如图：
$ ABCF $四点共圆有\[ \angle AFB=\angle ACB=\angle FEC\riff AF\px CE \]
$ D $为圆心半径为$ BD  ...

神奇，非常感谢，这个方法一般人真想不到。

TSC999

不用动脑子的复平面解析几何方法：

这个方法不是中学生的学习范围，因此中学生千万别学这个邪门武功。

匠心

TSC999 发表于 2023-11-11 13:27
不用动脑子的复平面解析几何方法：

这个方法不是中学生的学习范围，因此中学生千万别学这个邪门武功。 ...

高级😀