素元定义的等价性

abababa

先写两个用到的定义：
平凡因子：给定整环$R$，对任意的$a\in R$，$R$的单位和$a$的相伴元称为$a$的平凡因子。

单位和相伴元：给定整环$R$，若$\varepsilon\in R$存在乘法逆元，则称$\varepsilon$是$R$的一个单位，若$a,b\in R$满足$a=\varepsilon b$，则称$a,b$互为相伴元。

然后是素元的两个定义：
定义1：给定整环$R$和$p\in R$，若$p\neq0$且不是单位，且$p$只有平凡因子，则称$p$是$R$中的素元。
定义2：给定整环$R$和$p\in R,p\neq0$且$p$不是单位，若$p\mid ab\Rightarrow p\mid a或p\mid b$，则称$p$是$R$中的素元。

怎么证明这两个定义等价？也就是证明：在整环$R$中，$p\in R$且$p\neq0$且$p$不是单位，则$p$只有平凡因子的充要条件是：若$p\mid ab$，则或者$p\mid a$或者$p\mid b$，其中$a,b\in R$。

必要性：当$p$只有平凡因子时，由于$p\mid ab$，于是存在$c\in R$使得$ab=pc$。当$a,b$中有一个为零元时，不妨设$a=0$，则显然$a=0=0p$，于是$p\mid a$，命题成立。当$a,b$有一个为单位时，不妨设$a$是单位，由单位的定义知$a^{-1}\in R$，于是$b=p(ca^{-1})$，于是$p\mid b$，命题成立。当$a,b$都不是零元，也都不是单位时，要怎么证明？

还有充分性怎么证明？

Czhang271828

那就逆否命题, 若 $p$ 可以表示为非平凡因子的乘积 $p=rs$, 则 $p\mid rs$. 下证明不可能有 $p\mid r$ 或 $p\mid s$ 即可. 对称地考虑 $p\mid r$, 则
$$
r\mid p,\quad p\mid r,\quad p=rs
$$
表明 $s$ 是单位. 矛盾.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-11-12 14:07
那就逆否命题, 若 $p$ 可以表示为非平凡因子的乘积 $p=rs$, 则 $p\mid rs$. 下证明不可能有 $p\mid r$ 或 $ ...

谢谢。必要性是不是不对？是不是只有在唯一分解整环里才成立？
比如在环$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$中，$2$是一个素元，显然$2\mid4=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$，但推不出$2\mid(1+\sqrt{-3})$或$2\mid(1-\sqrt{-3})$。因为这个环不是唯一分解整环。

这样看来这两个定义一般不等价，在唯一分解整环里才等价。

Czhang271828

abababa 发表于 2023-11-12 19:35
谢谢。必要性是不是不对？是不是只有在唯一分解整环里才成立？
比如在环$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$中，$2$ ...

你说的没错, 但提到素元, 一般就默认是 UFD 了. 一般情况下讨论元素可约与否足矣, Dedekind 整环上会用素理想代替素元.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-11-12 22:31
你说的没错, 但提到素元, 一般就默认是 UFD 了. 一般情况下讨论元素可约与否足矣, Dedekind 整环上会用素 ...

主楼里的定义1，其实按多数书里的定义，应该是叫“不可约元”。网友推荐我看的是张禾瑞的那本，主楼里的定义1在这本书里是叫素元。然后现在看很多其它的书，就有时感觉推不过去，近来终于发现是定义不同的原因。