|
|
先写两个用到的定义：
平凡因子：给定整环$R$，对任意的$a\in R$，$R$的单位和$a$的相伴元称为$a$的平凡因子。
单位和相伴元：给定整环$R$，若$\varepsilon\in R$存在乘法逆元，则称$\varepsilon$是$R$的一个单位，若$a,b\in R$满足$a=\varepsilon b$，则称$a,b$互为相伴元。
然后是素元的两个定义：
定义1：给定整环$R$和$p\in R$，若$p\neq0$且不是单位，且$p$只有平凡因子，则称$p$是$R$中的素元。
定义2：给定整环$R$和$p\in R,p\neq0$且$p$不是单位，若$p\mid ab\Rightarrow p\mid a或p\mid b$，则称$p$是$R$中的素元。
怎么证明这两个定义等价？也就是证明：在整环$R$中，$p\in R$且$p\neq0$且$p$不是单位，则$p$只有平凡因子的充要条件是：若$p\mid ab$，则或者$p\mid a$或者$p\mid b$，其中$a,b\in R$。
必要性：当$p$只有平凡因子时，由于$p\mid ab$，于是存在$c\in R$使得$ab=pc$。当$a,b$中有一个为零元时，不妨设$a=0$，则显然$a=0=0p$，于是$p\mid a$，命题成立。当$a,b$有一个为单位时，不妨设$a$是单位，由单位的定义知$a^{-1}\in R$，于是$b=p(ca^{-1})$，于是$p\mid b$，命题成立。当$a,b$都不是零元，也都不是单位时，要怎么证明？
还有充分性怎么证明？ |
|
Czhang271828
发表于 2023-11-12 14:07
