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第二定理，如果$X$不是完备的，只是赋范空间，我没能证明出$R(I-A)$是闭的。这也导致了对第三定理证明的问题，下面是我对第三定理的一些想法：
令$X_0=X, X_1=(\lambda I-T)(X_0)=R[(\lambda I-T)^1], X_2=(\lambda I-T)(X_1)=R[(\lambda I-T)^2], \cdots$。由于$X_0\supseteq X_1$，所以$(\lambda I-T)(X_0)\supseteq (\lambda I-T)(X_1)$，即$X_1\supseteq X_2$，继续操作有$X_0\supseteq X_1\supseteq X_2\supseteq\cdots$。若某个$X_{n}=X_{n+1}$，则$X_n=X_{n+1}=X_{n+2}=\cdots$，证明如下：
对任意的$y\in X_{n+1}$，显然存在$x\in X$使得$(\lambda I-T)^{n+1}x=y$，令$w=(\lambda I-T)^nx$，于是$y=(\lambda I-T)w$。显然$w=(\lambda I-T)^nx\in X_n=X_{n+1}$，于是$y=(\lambda I-T)w\in X_{n+2}$，由$y$的任意性知$X_{n+1}\subseteq X_{n+2}$，然而由前述证明知$X_{n+1}\supseteq X_{n+2}$，所以只能$X_{n+1}=X_{n+2}$，继续操作即有$X_n=X_{n+1}=X_{n+2}=\cdots$。
继续前面的证明，假设$k_0$是无限数，并且能证明$X_i$都是闭的，则$X_0\supset X_1\supset X_2\supset \cdots$。由李兹引理可知存在$x_n\in X_n, \|x_n\|=1$，使得$d(x_n,X_{n+1})\ge \frac{1}{2}$。注意当$n>m$时有$x_m\in X_n$，于是$Tx_m, Tx_n \in X_{n+1}$，于是
\[Tx_m-Tx_n=\lambda(x_m-x)\]
其中$x=x_n+\frac{(\lambda I-T)x_m-(\lambda I-T)x_n}{\lambda}$，注意$x\in X_{n+1}$，因此$d(x_m,x)\ge \frac{1}{2}$，所以$\|Tx_m-Tx_n\|\ge\frac{\lambda}{2}>0$，即$\{Tx_n\}$中不存在收敛子序列，但$\{x_n\}$显然是有界集，由定义知$T$不是紧线性算子，矛盾，所以$k_0$是有限数。
红色的部分，$X_i$都是闭集，在巴拿赫空间的情况下我可以证明，在赋范空间的情况下我没有证明出来。 |
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Czhang271828
发表于 2023-12-12 14:35
