$\int_0^{99}\abs{\sin x}/x$

hbghlyj

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是否成立\[0<\lim_{N\to\infty}{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}<\infty\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-2 13:23
是否成立\[0<\lim_{N\to\infty}{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}<\infty\]

試一下：
\[\int_1^N \frac{|\sin(x)|}{x}\rmd x \leq \int_1^N \frac1{x}\rmd x=\log N\]
因此
\[{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}={C_1+\int_1^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}\le{C_1\over\log N}+1\]
其中$C_1=\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x$.

令$N\to\infty$得到
\[\lim_{N\to\infty}{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}\le1\]

如何證明另一邊? $0<\lim_{N\to\infty}{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-2 10:59
由\begin{multline*}\int_0^t \sin x/x\rmd x =\rm Si(t)\end{multline*}如何得出$\displaystyle\int_0^{99}\abs{\sin(x)}/x\rmd x=\ldots$

\begin{align*}
\int_0^{99} \left| \sin(x) \right| / x \, \mathrm{d}x &= \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm{d}x - \int_\pi^{2\pi} \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm{d}x + \cdots - \int_{31\pi}^{99} \frac{\sin(x)}{x} \, \mathrm{d}x \\
&= \operatorname{Si}(\pi) - (\operatorname{Si}(2\pi) - \operatorname{Si}(\pi)) + \cdots - (\operatorname{Si}(99) - \operatorname{Si}(31\pi))
\end{align*}
就得出了那個式子。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-5 08:12
如何證明另一邊? $0<\lim_{N\to\infty}{\int_0^N\abs{\sin(x)}/x\rmd x\over\log N}$

試一下：

1. def f(N):
2.     return numerical_integral(abs(sin(x))/x,0, N)[0]/ log(N.n())
4. f(10000000)

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0.713411316868682

有可能極限是0嗎？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-2-5 16:36
試一下：

0.713411316868682

$$
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{(k+1)\pi}\operatorname dx\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\operatorname dx\leq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{k\pi}\operatorname dx.
$$
从而极限落在
$$
\lim_{N\to\infty}\frac{2\cdot \frac{1}{\pi}(1+2^{-1}+\cdots +N^{-1})}{\log (N\pi)}=\frac{2}{\pi}
$$
和
$$
\lim_{N\to\infty}\frac{2\cdot \frac{1}{\pi}(2^{-1}+\cdots +N^{-1})}{\log (N\pi)}=\frac{2}{\pi}
$$
之间(分子分母发散). 也就是 $\frac{2}{\pi}$.