黎曼-勒贝格定理 $L^p$ 0<p<1 反例？

hbghlyj

黎曼-勒贝格定理

设 $ f $ 为一个在实区间 $ I$ 上定义的L¹可积函数，取值为实数或复数。那么有
$$ \lim _{s\to \pm \infty }\int _{I}f(t)\,e^{-ist}\,dt=0 $$

若把L¹改為L$\vphantom{\large L}^p\ (0<p<1)$, 例如L^0.9, 有反例嗎？

Czhang271828

取 $I=\mathbb R_{\geq 0}$, 构造可数段的阶梯函数 $f$ 如下:

对 $n\in \mathbb N_+$, $f$ 在 $[n,n+2^{-n}[$ 上取值 $2^n$, 其余位置取 $0$. 这样的 $f$ 是 $L^p$ 的.

对任意 $k\in \mathbb N_+$, 依照 $x-x^3/6<\sin x<x$ 缩放下式
$$
\int_{\mathbb R_+} f(x)\cdot \cos (2^k\pi x) \operatorname dx,
$$
可见下式的取值是无穷大.

其实 RL 引理没规定选取的周期函数必须为 $e^{ist}$. 你取个平均积分为 $0$ 的分段阶梯函数或许更方便考虑反例.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-15 07:20
依照 $x-x^3/6<\sin x<x$ 缩放下式
$$
\int_{\mathbb R_+} f(x)\cdot \cos (2^k\pi x) \operatorname dx,
$$

方程中没有sin，如何使用不等式$x-x^3/6<\sin x<x$？

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-15 07:20
可见下式的取值是无穷大.

省略的下式$\lim_{k\to\infty}$吗？

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-15 07:20
取个平均积分为 $0$ 的分段阶梯函数或许更方便考虑反例.

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hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-2-15 07:20
依照 $x-x^3/6<\sin x<x$ 缩放下式
$$
\int_{\mathbb R_+} f(x)\cdot \cos (2^k\pi x) \operatorname dx,
$$

$
\int_{\mathbb R_+} f(x)\cdot \sin(2^k\pi x) \operatorname dx,
$是指这个吗？