直角三角形内接正方形，已知面积求边长，怎么设计数据让图好看点？

abababa

示意图如上。题目：$\triangle ACP, \triangle ACT$是两个全等的直角三角形，$\angle C$为直角，两正方形$S_1, S_2$内接于两三角形（填充全变黑了，$S_1$内接于$\triangle ACP$），且面积$S_1 = 441, S_2 = 440$，求$AC+CT$。
原解答如下：设$\triangle APC, \triangle ATC$面积都为$S$，设$AC=x, PC=TC=y, x+y=z$。设$S_1, S_2$边长分别为$m, n$，则$m=21, n=\sqrt{440}$。

在$\triangle APC$中$PC\cdot m+AC\cdot m=2S=xy$，即$21(x+y)=xy$，也即$xy=21z$。在$\triangle ACT$中$\frac{x}{y}=\tan T=\frac{n}{MT}, \frac{y}{x}=\tan A=\frac{n}{AN}$，所以$AT=AN+n+MT=\sqrt{440}(\frac{y}{x}+1+\frac{x}{y})=\sqrt{440}\frac{(x+y)^2-xy}{xy}$，但$AT=\sqrt{x^2+y^2}$，所以$x^2+y^2=440(\frac{(x+y)^2-xy}{xy})^2$，即$(x+y)^2-2xy=440(\frac{(x+y)^2-xy}{xy})^2$。将$xy=21z, x+y=z$代入得$z^2-42z-441\cdot440=0$，取正根得$z=462$。

但用这个数，画出来真实的图非常矮且宽，正方形非常小几乎看不出来。想弄两个好点的数，让真实图就像示意图那样明显，这要怎么弄才行？

kuing

O(∩_∩)O哈！这题我撸过：forum.php?mod=viewthread&tid=2635

你是要改数据使得既要数字好看又要图形好看是嘛？那帖里 6# 的方法挺好，可以参考一下。

PS、我改了一下 1# 图的代码，现在俩正方形不是全黑了

kuing

按链接里的结论就是
\[\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{1+\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\right)^2=\frac{(1+t)^2}{1+2t},\]
其中 `\alpha` 为直角三角形的锐角，`t=\sin\alpha\cos\alpha`，而对于 1# 的所求有
\begin{align*}
AC+CT&=2\sqrt{S_1}+\sqrt{S_1}\tan\alpha+\sqrt{S_1}\cot\alpha\\
&=\sqrt{S_1}\frac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha}\\
&=\sqrt{S_1}\frac{1+2t}t,
\end{align*}
要数据好看，就取个简单的 `t`，比如 `t=1/3`，代入前面得 `S_1/S_2=16/15`，就取 `S_1=16`, `S_2=15`，最后结果为 `20`。

画图的话，不难计算出此时两直角边为 `10\pm2\sqrt5`，也不会很扁。

abababa

kuing 发表于 2024-2-11 23:20
按链接里的结论就是
\[\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{1+\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\righ ...

这个数就很好，画出来的图也挺好的。我是想用一般的$m,n$表示$S_1,S_2$的边长，这样当$m>n>0$时线段和为$m+\frac{m^2}{\sqrt{m^2-n^2}}$，但画图的话还是要具体的数才行，而原题里的数画出来太不明显了。