$x^4 + y^4+ z^4 = 0$的对偶曲线

hbghlyj

文中说$C = \{x^4 + y^4+ z^4 = 0\}$的对偶曲线是$$\check{C}=\left\{x^{12}+3 x^8 y^4+3 x^4 y^8+y^{12}+3 x^8 z^4-21 x^4 y^4 z^4+3 y^8 z^4+3 x^4 z^8+3 y^4 z^8+z^{12}=0\right\} .$$
不知怎麼得來的

kuing

？不就是 `(x^4+y^4+z^4)^3-27x^4y^4z^4` 吗

hbghlyj

我猜 $n$ 次曲线的对偶是 $n^2-n$ 次

例：线对偶是点，2次曲线对偶是2次曲线，4次曲线对偶是 12 次曲线

hbghlyj

如果 3 次多项式需要计算一些例子
$x^{3/2}+y^{3/2}+z^{3/2}$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-17 10:42
如果 3 次多项式需要计算一些例子
$x^{3/2}+y^{3/2}+z^{3/2}$

我想我们只需要乘以所有共轭
$$(x^{\frac32}+y^{\frac32}+z^{\frac32})(x^{\frac32}+y^{\frac32}-z^{\frac32})(x^{\frac32}-y^{\frac32}+z^{\frac32})(x^{\frac32}-y^{\frac32}-z^{\frac32})$$
展开多项式
$$x^6 - 2 x^3 y^3 - 2 x^3 z^3 + y^6 - 2 y^3 z^3 + z^6$$
math.stackexchange.com/questions/4864509/degree-of-dual-curve-of-xdydzd-0

hbghlyj

哦，$n^2-n$只是它的最大值，事情更复杂
但如果我们只考虑 $x^{n/(n-1)}+y^{n/(n-1)}+z^{n/(n-1)}$ 的特殊情况，多项式的次数总是$n(n-1)$
en.wikipedia.org/wiki/Dual_curve

If the degree of the curve is $d$ then the degree of the polar is $d − 1$ and so the number of tangents that can be drawn through the given point is at most $d(d − 1)$.

hbghlyj

1. f = x^3 + y^3 + z^3;
2. GroebnerBasis[{x0 - D[f, x], y0 - D[f, y], z0 - D[f, z], f}, {x, y, z}][[1]] /. {x0 -> x, y0 -> y, z0 -> 1}

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$x^3 + y^3 + z^3=0$的对偶曲线是$x^6-2 x^3 y^3-2 x^3+y^6-2 y^3+1=0$
次数是6
如何找一条三次曲线，使其对偶曲线的次数小于6

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-21 18:47
如何找一条三次曲线，使其对偶曲线的次数小于6

找到了：$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0$的对偶曲线是4次的Deltoid curve：$(x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})-27=8(x^{3}-3xy^{2})$

$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0$和无穷远线相切于3个点（因为$x^3-3xy^2=x(x-\sqrt3y)(x+\sqrt3y)$）$$[0,1,0],[\pm\sqrt3,1,0]$$
所以它的对偶曲线有3条通过$(0,0)$的切线：
import graph;
size(200);
pair deltoid(real t){
  return 2/3*expi(t)+expi(-2*t)/3;
}
draw(graph(deltoid,0,2pi)--cycle);
draw((0,0)--E,magenta);
draw((0,0)--dir(120),magenta);
draw((0,0)--dir(-120),magenta);

$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0$有一个二重点$(0,0)$，
因为在$(x,y)=(0,0)$附近$x^3-x^2-(3x+1)y^2\approx-x^2-y^2=(x+iy)(-x+iy)$
所以在$(0,0)$有两根虚切线$x\pm iy=0$。

作代换$y\mapsto iy$，曲线变为$x^3-x^2+(3x+1)y^2=0$，$(0,0)$还是二重点，但两根切线变为实的$x\pm y=0$：

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-3 10:47
找到了：$x^3-x^2-(3x+1)y^2=0$的对偶曲线是4次的Deltoid curve：

用Dual curve 的定义验证：

1. f=x^3-x^2z-(3x+z)y^2;
2. GroebnerBasis[{x0-D[f,x],y0-D[f,y],z0-D[f,z],f},{x,y,z}][[1]]/.{x0->x,y0->y,z0->1}

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输出-27+18 x^2-8 x^3+x^4+18 y^2+24 x y^2+2 x^2 y^2+y^4
即$(x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})-27=8(x^{3}-3xy^{2})$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-21 18:47
如何找一条三次曲线，使其对偶曲线的次数小于6

math.stackexchange.com/questions/662768/
Plücker formula $d^*=d(d-1)-2\delta-3\kappa$
$\delta$ 是有不同切线的奇点个数。
$\kappa$ 是有相同切线的奇点个数。
在上面的例子中，
$x^3+y^3+z^3=0$为非奇异三次曲线，则$\delta=\kappa=0$，对偶曲线的次数是$d^*=6$
$x^3-x^2z-(3x+z)y^2=0$有一个奇点$[0,0,1]$且有2条不同切线，则$\delta=1,\kappa=0$，$d^*=4$
$x^3-y^2z=0$有一个奇点$[0,0,1]$且切线相同，则$\delta=0,\kappa=1$，$d^*=3$