发maven的证明：
用齐次坐标简单点。设 A(1,0,0), B(0,1,0), D(0,0,1) 是坐标三角形，再设 C(1,1,1)，那个二次曲线 Gamma 的矩阵就是
[a, 0, 0]
[0, 0, b]
[0, b, 0]
也就是 x_1^2+(2b/a)x_2x_3 = 0。
显然 AD 的方程是 (0, -1, 0)，由 P 在 AD 上可设 P(p, 0, 1)，设 T(t_1, t_2, t_3)，则 Gamma 在点 T 处的切线为 T.Gamma，此切线与 AD 的交点为 T.Gamma \times AD = (bt_2, 0, -at_1)，显然这交点就是 P(p, 0, 1)，因此 T(-1/a, p/b, t_3)，但 T 在 Gamma 上，满足 Gamma 的方程，代入即有 t_3 = -1/(2ap)，于是 T = (-1/a, p/b, -1/(2ap)) = (2p, (2a/b)p^2, 1)
当参数 p 活动时显然这就是二次曲线。
我不是能完全理解，下面是我加的一些注释：
二次曲线的矩阵是一个对称矩阵$M=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{bmatrix}$，二次曲线的方程就是
\[(x_1,x_2,x_3)M\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=0\]
其中$(x_1,x_2,x_3)$是齐次坐标，全除以$x_3$得到$(\frac{x_1}{x_3},\frac{x_2}{x_3},1)$，只取前两个就是直角坐标。
过两点$(a_1,a_2,a_3), (b_1,b_2,b_3)$的直线的方程，就是把这两点做叉积，在Mathematic里就是用Cross来做，得到的仍是一个三元向量$(c_1,c_2,c_3)$，而那个直线方程是$c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3=0$，这里只用$(c_1,c_2,c_3)$来表示直线，和点的表示形式统一。
两直线$(a_1,a_2,a_3), (b_1,b_2,b_3)$的交点，也是像上面一样用叉积来做。
二次曲线（矩阵为$M$）上一点$P(p_1,p_2,p_3)$的极线（切线）的方程是
\[
(p_1,p_2,p_3)M\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=0
\]
然后根据这些，就能得到他所说的那些结果。 |
kuing
Post time 2024-3-8 12:08
abababa
Post time 2024-3-10 19:56
（RP2把任四点射影变換到任四点）.