求证直线和圆相切

hbghlyj

点O、A、B、C共线，OB=OC，
过B作OA的垂线，交圆O于D、E，设DA、EA交圆O于F、G，设FG交OA于M.
过C作OA的垂线，交圆O于H、I，设HA、IA交圆O于J、K，设JK交OA于N.
设A关于圆O的反演为A’，设AA’的中点为U，
以U为圆心过A作圆，交圆O于V、V’，
VV’交以MN为直径的圆于P
求证：PU是以MN为直径的圆的切线

点O、A、V、U、A’的关系和前帖一样。

hbghlyj

来源：是在研究这题时发现的。
因为以BC为直径的圆和圆S是同心圆（以O为中心）所以从直线BC的无穷远点作以BC为直径的圆、圆S的极线相同（都是经过O、垂直于BC的直线）。
经过原帖的对合$\phi$，点O变为A，圆S不变，直线BC的无穷远点变为U，以BC为直径的圆变为椭圆Γ’.
下划线命题变为：从点U作椭圆Γ’和圆S的极线相同，即$VV'$，所以U关于椭圆Γ’的极线是$VV'$.
又因为U关于椭圆Γ’的极线$VV'$也是U关于以MN为直径的圆的极线（原帖3#），所以得到这个题。

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