同心圆变到圆和椭圆 求圆心的像

hbghlyj

给定平面上一对同心圆 $\Gamma, S$, 其中 $S$ 在外围, 记 $S$ 的圆心为 $O$。现在任作一个该平面上的射影变换 $\phi$, 使得 $\phi(S)=S$, 而 $\phi(\Gamma)=\Gamma^{\prime}$ 是包含于 $S$ 内部不同于 $\Gamma$ 的一条椭圆。

如果给定圆$S$和椭圆$\Gamma^{\prime}$，如何找到点$\phi(O)$？

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-11 14:14
如果给定圆$S$和椭圆$\Gamma^{\prime}$

设椭圆的短轴为MN，根据这帖，OMN共线。
设以MN为直径的圆和圆$S$的根轴为$L$，则$L$关于圆$S$的极点就是$\phi(O)$.

解释：$O$关于$S$、$\Gamma$的极线相同（都是$z=0$），所以$\phi(O)$关于$\phi(S)=S$、$\phi(\Gamma)=\Gamma'$的极线相同。
而$\phi(O)$在直线OMN上，且MN是$\Gamma'$的短轴，所以$\phi(O)$关于$\Gamma'$和以MN为直径的圆的极线相同。
所以$\phi(O)$关于圆$S$、以MN为直径的圆的极线相同。
所以$\phi(O)$关于这两个圆的极线就是这两个圆的根轴$L$.
所以$\phi(O)$是$L$关于圆$S$的极点。（还能得到$L$是无穷远线$z=0$在$\phi$下的像）

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-11 14:21
而$\phi(O)$在直线OMN上，且MN是$\Gamma'$的短轴，所以$\phi(O)$关于$\Gamma'$和以MN为直径的圆的极线相同。

这个小结论，稍微计算一下就可以证出來：
$(x_0,0)$关于椭圆$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$的极线是$\frac{x_0x}{b^2}=1$
$(x_0,0)$关于圆$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的极线也是$\frac{x_0x}{b^2}=1$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-11 14:21
所以$\phi(O)$关于这两个圆的极线就是这两个圆的根轴$L$.

隐藏椭圆$\Gamma'$后，就是我们熟悉的共轴圆组的根轴的图：
圆$S$、以MN为直径的圆、点圆$\phi(O)$、直线$L$构成共轴圆组（过四公共(虚)点的二次曲线系）。

设L和直线OMN的交点为K，K到圆S、以MN为直径的圆的切线为KP、KQ，
则$|KP|=|KQ|=|K\ \phi(O)|$（圆幂相等）。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-11 14:48
圆$S$、以MN为直径的圆、点圆$\phi(O)$、直线$L$构成共轴圆组（过四公共(虚)点的二次曲线系）。

这里有两个二次曲线系：

• 圆$S$、以MN为直径的圆、点圆$\phi(O)$、直线$L$线性相关，构成过四公共点的二次曲线系
  $$\{(1-s)S+sL:s\inR\}$$
  下面的演示可以看到，这个二次曲线系的每条曲线都是圆，当$s\to1$时圆变成直线$L$
  
• 圆$S$、椭圆$\Gamma'$、点椭圆$\phi(O)$、二重直线$L^2$线性相关，构成过四公共点的二次曲线系
  $$\{(1-s)S+sL^2:s\inR\}$$
  这个二次曲线系是以O为中心的同心圆在$\phi$下的像，圆S内的同心圆变成椭圆，圆S外的同心圆变成双曲线。
  下面的演示可以看到，$s\to0$时椭圆变成圆$S$，$s\to1$时两支双曲线合并成二重直线$L^2$，它是$z^2=0$在$\phi$下的像。
  

hbghlyj

$\phi$的中心为A，$\phi$的轴为A关于圆S的极线S(A)
设圆S的直径CD通过A，
平面上任意点B，BC与S(A)的交点为E，ED与BA的交点为$\phi(B)$.
这样构造出一个对合$\phi$，满足$\phi(S)=S$.
当$B$在圆S上时，$\phi(B)$就是BA与S的第二交点.

这和第37页的构造是一样的：

A homology is determined when its center and axis and one pair of corresponding points (collinear with the center) are given.

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$\phi(\Gamma)=\Gamma'$的演示：
B在圆$\Gamma$上运动，$\phi(B)$在椭圆$\Gamma'$上运动

hbghlyj

因为O关于S的极线是无穷远线，设$\phi(O)=I$，那么I关于S的极线是无穷远线在$\phi$下的像。
B在I关于S的极线（图中经过K的竖直线）上时，$\phi(B)$是无穷远点，所以直线ED与BA平行，演示：