[考古]橢圓求周術

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乾嘉學派與圓徑周率
《續疇人傳》依然傳承乾嘉學派的立場
董祐誠於 1823 年歿於北京，同年冬天，他的兄長董基誠將他的遺著收集成《董方立遺書》
出版。這部全集收入他的曆算稿五種，包括了《割圜連比例圖解》、《橢圓求周術》、《堆
垛求積術》、《斜弧三邊求角補術》及《三統術衍補》。其中《割圜連比例圖解》和《堆垛
求積術》都頗有貢獻，唯一美中不足的是他的《橢圓求周術》。由於「秀水朱先生鴻為言圜
柱斜剖則成橢圓，是可以勾股形求之」，於是，他仿照《九章算術》(勾股章)「葛生纏木」題
的解法，以圓柱半周為勾，橢圓長、短軸平方之差為股之平方，求弦得橢圓半周。如設 $a,b$ 為
橢圓長、短半軸， $p$ 為周長，則董祐誠的公式相當於
\[
p=\sqrt{4 \pi^2 b^2+16\left(a^2-b^2\right)}
\]
這個《橢圓求周術》顯然是錯誤的，後來項名達提出正確的公式，收入他自己的《象數一原》
內。不過，針對董祐誠這個錯誤公式，羅士琳（1789～1853 年）──乾嘉學派算學傳統的最
後重鎮──倒是明白地指出：
「於術不通，蓋葛生纏木，若使兩面對纏，其相交處必有角，故可借為勾股形求之。而橢
圓之形，則為斜剖之圓柱，與葛纏者迥異，其受剖處無痕跡可尋，故能有合於長圓，而
不能有合於勾股，以其相交處無角也。夫其相交處無角，則其形不同，其數必恆小於橢
周，信非通法！」
羅士琳還特別強調：
「曩曾以此論告之其兄玉椒農部（基誠），乃農部既不知算，兼以友愛其弟，不忍湮沒其
所著之書，堅不節去此術，致方立有遺憾，惜哉！」
這些評論當然都言之成理，不過，它們竟然占用了羅士琳所撰「董祐誠搜論」全幅的之
四分之三，在剩下的四分之一中，羅士琳則僅推崇董祐誠之有志於研究曆術可與李銳並稱，
「都有功於眾緯者也」，而對董祐誠在《割圜連比例圖解》和《堆垛求積術》上的成就，則
未置一詞，至於《圓徑求周辨》一文，更不必論矣！
包括「董祐誠傳論」的《董祐誠傳》，載於羅士琳撰著的《續疇人傳》（1840 年）。這
部傳記對西法派算學家的評價固然稍有折衷，但主要風格仍與阮元、李銳的《疇人傳》一致。
也就是說，它仍然維持了乾嘉學派的基本立場。在這種情況下，羅士琳對董祐誠的評論，似
乎在不言之中了。

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在旧问重提——平面斜截圆锥的展开图计算过

斜截圆柱展开图是正弦曲线，但是董祐誠把它当作两段直线去算的

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圆柱的半徑為$b$。 左图中，“庚辛壬”三个点组成直角三角形。斜边“庚辛”为$2a$，底边“辛壬”为$2b$ 所以，高“庚壬”为$2\sqrt{a^2-b^2}$ 把椭圆截面的一半的展开图的近似成直线，高$2b$，底边为底面圆周长的一半$\pi b$ 椭圆周长的一半(近似成直线段)就是$$\sqrt{(\pi b)^2+(2\sqrt{a^2-b^2})^2}$$ 那么椭圆周长(近似)就是$$2\sqrt{(\pi b)^2+(2\sqrt{a^2-b^2})^2}$$ 即上面的董祐誠的公式 直线段最短，所以这个值小于椭圆的周长。（上面羅士琳说的「其數必恆小於橢周」）