椭圆的共轭直径的平方和为定值

hbghlyj

证明：单比仿射不变,所以直径还是被仿射后的平行弦平分,即仿射保持直径的共轭
设P,Q是由P₁,Q₁生成的,经过P,Q的直径为共轭的,PP',QQ'为AA'的纵标线,则P₁O⊥Q₁O,设∠P₁OP'=θ,则
PO²+QO²=PP'²+P'O²+QQ'²+Q'O²
=k²r²sin²θ+r²cos²θ+k²r²cos²θ+r²sin²θ=(k²+1)r²=定值

hbghlyj

双曲线有类似的结论吗

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-25 16:32
双曲线有类似的结论吗

对于双曲线是差为定值：
(k²r²sinh²θ+r²cosh²θ)-(k²r²cosh²θ+r²sinh²θ)=(1-k²)r²=定值

kuing

瞬间想起这帖：kuingggg.github.io/5d6d/thread-932-1-6.html

hejoseph

对于共轭直径有两个定值的。

设 $AB$、$CD$ 互为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的共轭直径，其夹角是 $\theta$，设 $|AB|=2a'$，$|CD|=2b'$，则 $a'^2+b'^2=a^2+b^2$，$a'b'\sin\theta=ab$。若 $AB$、$CD$ 不与主轴重合，则长轴在直线 $AB$、$CD$ 所夹的锐角区域内。

以双曲线直径的端点的切线与该双曲线的两渐近线相交的四个点为端点的平行四边形称为该双曲线对于该直径的基本平行四边形。
$AB$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的直径，四边形 $CDEF$ 是关于直径 $AB$ 的基本平行四边形，实轴一定穿过切点含切点的边所在直线包围的所含内角为劣角且区域内不包含其他边的直线的区域，$AB\sslash CD\sslash EF$，$|AB|=|CD|=|EF|=2a'$，$|FC|=|DE|=2b'$，$\angle C=\theta$，则 $a'^2-b'^2=a^2-b^2$，$a'b'\sin\theta=ab$。